袋の中に白玉6個と黒玉3個が入っている。袋から玉を1個ずつ、元に戻さずに2回続けて取り出すとき、白玉が出る回数を確率変数Xとする。確率変数Xの確率分布を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に白玉6個と黒玉3個が入っている。袋から玉を1個ずつ、元に戻さずに2回続けて取り出すとき、白玉が出る回数を確率変数Xとする。確率変数Xの確率分布を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、Xの取りうる値を考える。2回玉を取り出すとき、白玉の出る回数は0回、1回、2回のいずれかである。

それぞれの確率を計算する。

* X=0 (2回とも黒玉)となる確率：

1回目に黒玉を取り出す確率は $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ 。

1回目に黒玉を取り出したとき、袋の中は白玉6個、黒玉2個になる。

2回目に黒玉を取り出す確率は $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ 。

よって、X=0となる確率は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ 。

* X=1 (1回だけ白玉)となる確率：

1回目に白玉、2回目に黒玉を取り出す確率は $\frac{6}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{1}{4}$ 。

1回目に黒玉、2回目に白玉を取り出す確率は $\frac{3}{9} \times \frac{6}{8} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ 。

よって、X=1となる確率は $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ 。

* X=2 (2回とも白玉)となる確率：

1回目に白玉を取り出す確率は $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ 。

1回目に白玉を取り出したとき、袋の中は白玉5個、黒玉3個になる。

2回目に白玉を取り出す確率は $\frac{5}{8}$ 。

よって、X=2となる確率は $\frac{2}{3} \times \frac{5}{8} = \frac{5}{12}$ 。

それぞれのXに対する確率をまとめると、次のようになる。

| X | 0 | 1 | 2 | 計 |

|-----|------------|------------|------------|----|

| P(X) | $\frac{1}{12}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{5}{12}$ | 1 |

3. 最終的な答え

| X | 0 | 1 | 2 | 計 |

|-----|-----|-----|-----|----|

| P(X) | 1/12 | 1/2 | 5/12 | 1 |