二次方程式 $x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2 = -1$ で表される曲線の概形を求め、焦点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

二次方程式 $x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2 = -1$ で表される曲線の概形を求め、焦点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次形式を行列で表現します。

$x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2 = (x_1, x_2) \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ を対角化するために、固有値を求めます。

固有方程式は $|A - \lambda I| = 0$ です。

$det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & 1 - \lambda \end{pmatrix} = (1 - \lambda)^2 - 4 = \lambda^2 - 2\lambda - 3 = (\lambda - 3)(\lambda + 1) = 0$

よって、固有値は $\lambda = 3, -1$ です。

次に、固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

$\lambda = 3$ のとき、$(A - 3I) \vec{v} = \vec{0}$ を解きます。

$\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-2x_1 + 2x_2 = 0$ より、$x_1 = x_2$ なので、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ です。

$\lambda = -1$ のとき、$(A + I) \vec{v} = \vec{0}$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x_1 + 2x_2 = 0$ より、$x_1 = -x_2$ なので、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ です。

固有ベクトルを正規化すると、それぞれ $\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ になります。

これらを並べて直交行列 $P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ を作ります。

このとき、$P^T A P = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ となります。

座標変換 $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}$ を行うと、元の二次形式は

$3y_1^2 - y_2^2 = -1$ となります。

これは $y_2^2 - 3y_1^2 = 1$ と書き換えられ、双曲線を表します。

双曲線の焦点の座標は、$y_2^2 / 1 - y_1^2 / (1/3) = 1$ なので、$a^2 = 1, b^2 = 1/3$ より、$c^2 = a^2 + b^2 = 1 + 1/3 = 4/3$, $c = \frac{2}{\sqrt{3}}$ となります。

よって、焦点の座標は $(0, \pm \frac{2}{\sqrt{3}})$ です。

元の座標系に変換すると、

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\ \mp \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

曲線の概形：双曲線

焦点の座標：$(\frac{\sqrt{6}}{3}, -\frac{\sqrt{6}}{3}), (-\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$