$a$ を定数とする。関数 $f(x) = x^2 - 4ax + 4a$ ($0 \le x \le 2$)について、以下の問いに答える。 (1) 最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。 (2) 最大値とそのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。関数 $f(x) = x^2 - 4ax + 4a$ ($0 \le x \le 2$)について、以下の問いに答える。

(1) 最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。

(2) 最大値とそのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 4ax + 4a = (x - 2a)^2 - 4a^2 + 4a$

したがって、軸は $x = 2a$ である。

定義域は $0 \le x \le 2$ である。

(1) 最小値を求める。

軸の位置によって場合分けする。

(i) $2a < 0$ のとき、つまり $a < 0$ のとき

$f(x)$ は $x=0$ で最小値をとる。

最小値は $f(0) = 4a$ であり、このときの $x$ の値は $x = 0$ である。

(ii) $0 \le 2a \le 2$ のとき、つまり $0 \le a \le 1$ のとき

$f(x)$ は $x = 2a$ で最小値をとる。

最小値は $f(2a) = -4a^2 + 4a$ であり、このときの $x$ の値は $x = 2a$ である。

(iii) $2 < 2a$ のとき、つまり $1 < a$ のとき

$f(x)$ は $x = 2$ で最小値をとる。

最小値は $f(2) = 4 - 8a + 4a = 4 - 4a$ であり、このときの $x$ の値は $x = 2$ である。

(2) 最大値を求める。

(i) $2a \le 1$ のとき、つまり $a \le \frac{1}{2}$ のとき

$f(x)$ は $x=2$ で最大値をとる。

最大値は $f(2) = 4 - 4a$ であり、このときの $x$ の値は $x = 2$ である。

(ii) $1 < 2a$ のとき、つまり $\frac{1}{2} < a$ のとき

$f(x)$ は $x = 0$ で最大値をとる。

最大値は $f(0) = 4a$ であり、このときの $x$ の値は $x = 0$ である。

3. 最終的な答え

(1) 最小値

$a < 0$ のとき、最小値 $4a$ ($x = 0$)

$0 \le a \le 1$ のとき、最小値 $-4a^2 + 4a$ ($x = 2a$)

$1 < a$ のとき、最小値 $4 - 4a$ ($x = 2$)

(2) 最大値

$a \le \frac{1}{2}$ のとき、最大値 $4 - 4a$ ($x = 2$)

$\frac{1}{2} < a$ のとき、最大値 $4a$ ($x = 0$)