与えられた積分 $\int_{x}^{3x} t \cos t \, dt$ を $x$ で微分せよ。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int_{x}^{3x} t \cos t \, dt$ を $x$ で微分せよ。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、微積分学の基本定理とライプニッツの積分法則を使用します。

微積分学の基本定理は、$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, dt = f(x)$ を意味します。

ライプニッツの積分法則は、積分範囲が $x$ に依存する場合の微分を扱うものです。一般的に、以下のようになります。

$$\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(x, t) \, dt = f(x, b(x)) \frac{db(x)}{dx} - f(x, a(x)) \frac{da(x)}{dx} + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial f(x, t)}{\partial x} \, dt$$

今回の問題では、$f(t) = t \cos t$ であり、$a(x) = x$, $b(x) = 3x$ です。したがって、求める微分は

$$\frac{d}{dx} \int_{x}^{3x} t \cos t \, dt = (3x) \cos(3x) \frac{d(3x)}{dx} - (x) \cos(x) \frac{d(x)}{dx}$$

$$\frac{d}{dx} \int_{x}^{3x} t \cos t \, dt = 3(3x) \cos(3x) - x \cos x$$

$$\frac{d}{dx} \int_{x}^{3x} t \cos t \, dt = 9x \cos(3x) - x \cos x$$

3. 最終的な答え

$9x \cos(3x) - x \cos x$