この問題は、以下の2つの三角関数と3つの逆三角関数のグラフを、それぞれの定義域と値域に注意して描くことを求めています。 * $y = \sin 2x \quad (0 \leq x \leq 2\pi)$ * $y = \frac{1}{2}\cos (\frac{x}{2}) \quad (0 \leq x \leq \pi)$ * $y = \arcsin x$ * $y = \arccos x$ * $y = \arctan x$

はい、承知しました。問題の内容と解き方を説明し、最終的な答えを記述します。

1. 問題の内容

この問題は、以下の2つの三角関数と3つの逆三角関数のグラフを、それぞれの定義域と値域に注意して描くことを求めています。

* $y = \sin 2x \quad (0 \leq x \leq 2\pi)$

* $y = \frac{1}{2}\cos (\frac{x}{2}) \quad (0 \leq x \leq \pi)$

* $y = \arcsin x$

* $y = \arccos x$

* $y = \arctan x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin 2x \quad (0 \leq x \leq 2\pi)$のグラフ

* まず、基本的な$y = \sin x$のグラフを考えます。

* $y = \sin 2x$は、$y = \sin x$のグラフを$x$軸方向に$\frac{1}{2}$倍に縮小したものです。

* つまり、周期は$\frac{2\pi}{2} = \pi$となります。

* 定義域は$0 \leq x \leq 2\pi$なので、$\sin 2x$は0から$2\pi$の間に2周期分のグラフを描きます。

* 値域は$-1 \leq y \leq 1$です。

(2) $y = \frac{1}{2}\cos (\frac{x}{2}) \quad (0 \leq x \leq \pi)$のグラフ

* まず、基本的な$y = \cos x$のグラフを考えます。

* $y = \cos (\frac{x}{2})$は、$y = \cos x$のグラフを$x$軸方向に2倍に拡大したものです。

* 周期は$2\pi / (1/2) = 4\pi$となります。

* $y = \frac{1}{2}\cos (\frac{x}{2})$は、$y = \cos (\frac{x}{2})$のグラフを$y$軸方向に$\frac{1}{2}$倍に縮小したものです。

* 定義域は$0 \leq x \leq \pi$なので、$y = \frac{1}{2}\cos (\frac{x}{2})$は0から$\pi$の範囲でグラフを描きます。

* 値域は$-\frac{1}{2} \leq y \leq \frac{1}{2}$です。

(3) $y = \arcsin x$のグラフ

* $y = \arcsin x$は、$x = \sin y$の逆関数です。

* 定義域は$-1 \leq x \leq 1$です。

* 値域は$-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$です。

* グラフは、$y = \sin x$のグラフを$x$と$y$を入れ替えて$- \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$の範囲で描いたものになります。

(4) $y = \arccos x$のグラフ

* $y = \arccos x$は、$x = \cos y$の逆関数です。

* 定義域は$-1 \leq x \leq 1$です。

* 値域は$0 \leq y \leq \pi$です。

* グラフは、$y = \cos x$のグラフを$x$と$y$を入れ替えて$0 \leq x \leq \pi$の範囲で描いたものになります。

(5) $y = \arctan x$のグラフ

* $y = \arctan x$は、$x = \tan y$の逆関数です。

* 定義域は$-\infty < x < \infty$です。

* 値域は$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$です。

* グラフは、$y = \tan x$のグラフを$x$と$y$を入れ替えて$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$の範囲で描いたものになります。

3. 最終的な答え

これらの関数それぞれのグラフを描くことが問題の答えとなります。具体的なグラフの描画は省略しますが、それぞれの関数の定義域と値域を考慮し、上記の手順に従ってグラフを描くことができます。