1. 不定積分 $\int \cos^2 x dx$ を求め、積分定数を $C$ とする。

1. 問題の内容

1. 不定積分 $\int \cos^2 x dx$ を求め、積分定数を $C$ とする。

2. 曲線 $y = (3-x)e^x$ と $x$軸、直線 $x=0$, $x=2$ で囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

1. $\int \cos^2 x dx$ の計算

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ の公式を利用する。

$\int \cos^2 x dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} dx$

$\int \frac{1}{2} dx + \int \frac{\cos 2x}{2} dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$

2. 曲線 $y = (3-x)e^x$ と $x$軸、直線 $x=0$, $x=2$ で囲まれた部分の面積の計算

$0 \leq x \leq 2$ において $y = (3-x)e^x$ の符号を調べる。

$0 \leq x \leq 2$ のとき $e^x > 0$ なので、$3-x$ の符号を調べればよい。

$3 - x > 0$ なので、$y > 0$ となる。

したがって、面積 $S$ は

$S = \int_0^2 (3-x)e^x dx$

部分積分を行う。

$S = \int_0^2 3e^x dx - \int_0^2 xe^x dx$

$\int xe^x dx = x \int e^x dx - \int (\int e^x dx) dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$

$S = [3e^x]_0^2 - [xe^x - e^x]_0^2 = 3e^2 - 3e^0 - (2e^2 - e^2) + (0e^0 - e^0) = 3e^2 - 3 - e^2 + 1 = 2e^2 - 2$

3. 最終的な答え

1. $\int \cos^2 x dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$

2. $2e^2 - 2$