問題は2つあります。 1. $\cos{\frac{7}{12}\pi}$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1. $\cos{\frac{7}{12}\pi}$ の値を求める。

2. 関数 $f(x) = 3\sin^2x + 4\sin x \cos x - \cos^2 x$ の $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ における最大値を求める。

2. 解き方の手順

1. $\cos{\frac{7}{12}\pi}$ の値を求める。

$\frac{7}{12}\pi = \frac{3}{12}\pi + \frac{4}{12}\pi = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}$ であるから、

$\cos(\frac{7}{12}\pi) = \cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3})$

加法定理を用いて

$\cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

2. $f(x) = 3\sin^2x + 4\sin x \cos x - \cos^2 x$ の $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ における最大値を求める。

$f(x) = 3\sin^2 x + 4\sin x \cos x - \cos^2 x = 3\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right) + 2\sin 2x - \frac{1+\cos 2x}{2} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos 2x + 2\sin 2x - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x = 1 - 2\cos 2x + 2\sin 2x$

$f(x) = 1 + 2(\sin 2x - \cos 2x)$

$f(x) = 1 + 2\sqrt{2}\sin(2x - \frac{\pi}{4})$

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ より、$-\frac{\pi}{4} \le 2x - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}$

したがって、$\sin(2x-\frac{\pi}{4})$ の最大値は $1$ である。

$2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ のとき最大値をとる。 $2x = \frac{3\pi}{4}$ なので $x = \frac{3\pi}{8}$

よって、最大値は $1 + 2\sqrt{2} \cdot 1 = 1+2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

1. $\cos{\frac{7}{12}\pi} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

2. $f(x)$ の最大値は $1 + 2\sqrt{2}$