与えられた関数と区間について、平均値の定理を満たす $c$ を求める問題です。平均値の定理は、関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続、開区間 $(a, b)$ で微分可能であるとき、 $$ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c) $$ を満たす $c$ が $(a, b)$ に少なくとも1つ存在するというものです。 問題は以下の3つです。 (1) $f(x) = x^3$, $[1, 3]$ (2) $f(x) = \frac{2}{x}$, $[2, 4]$ (3) $f(x) = x^3 - x$, $[-2, 2]$

1. 問題の内容

与えられた関数と区間について、平均値の定理を満たす $c$ を求める問題です。平均値の定理は、関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続、開区間 $(a, b)$ で微分可能であるとき、

$$$$

\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)

$$$$

を満たす $c$ が $(a, b)$ に少なくとも1つ存在するというものです。

問題は以下の3つです。

(1) $f(x) = x^3$, $[1, 3]$

(2) $f(x) = \frac{2}{x}$, $[2, 4]$

(3) $f(x) = x^3 - x$, $[-2, 2]$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3$, $[1, 3]$の場合

* $f(3) = 3^3 = 27$, $f(1) = 1^3 = 1$

* 平均変化率は $\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{27 - 1}{3 - 1} = \frac{26}{2} = 13$

* $f'(x) = 3x^2$

* $f'(c) = 3c^2 = 13$ を解くと $c^2 = \frac{13}{3}$

* $c = \pm \sqrt{\frac{13}{3}} = \pm \frac{\sqrt{39}}{3}$

* $c$ は $(1, 3)$ に含まれる必要があるので、$c = \frac{\sqrt{39}}{3}$

(2) $f(x) = \frac{2}{x}$, $[2, 4]$の場合

* $f(4) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $f(2) = \frac{2}{2} = 1$

* 平均変化率は $\frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \frac{\frac{1}{2} - 1}{4 - 2} = \frac{-\frac{1}{2}}{2} = -\frac{1}{4}$

* $f'(x) = -\frac{2}{x^2}$

* $f'(c) = -\frac{2}{c^2} = -\frac{1}{4}$ を解くと $c^2 = 8$

* $c = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$

* $c$ は $(2, 4)$ に含まれる必要があるので、$c = 2\sqrt{2}$

(3) $f(x) = x^3 - x$, $[-2, 2]$の場合

* $f(2) = 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6$, $f(-2) = (-2)^3 - (-2) = -8 + 2 = -6$

* 平均変化率は $\frac{f(2) - f(-2)}{2 - (-2)} = \frac{6 - (-6)}{2 - (-2)} = \frac{12}{4} = 3$

* $f'(x) = 3x^2 - 1$

* $f'(c) = 3c^2 - 1 = 3$ を解くと $3c^2 = 4$

* $c^2 = \frac{4}{3}$

* $c = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$

* $c$ は $(-2, 2)$ に含まれる必要があるので、$c = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $c = \frac{\sqrt{39}}{3}$

(2) $c = 2\sqrt{2}$

(3) $c = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$