次の不定積分を求めよ。 $\int x\sqrt{x} \, dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。

$\int x\sqrt{x} \, dx$

2. 解き方の手順

まず、積分記号の中の関数を整理します。$\sqrt{x}$ は $x^{1/2}$ と書けるので、

$$x\sqrt{x} = x \cdot x^{1/2} = x^{1+1/2} = x^{3/2}$$

したがって、

$$\int x\sqrt{x} \, dx = \int x^{3/2} \, dx$$

次に、べき関数の積分公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用います。ここで $n = \frac{3}{2}$ なので、

$$\int x^{3/2} \, dx = \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} + C$$

指数部分を計算します。

$$\frac{3}{2} + 1 = \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = \frac{5}{2}$$

分母も同様に計算します。

$$\frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$$

したがって、積分は

$$\frac{x^{5/2}}{5/2} + C = \frac{2}{5}x^{5/2} + C$$

3. 最終的な答え

$$\frac{2}{5}x^{5/2} + C$$