問題は2つあります。 1つ目の問題は、曲線 $y = x\cos x$ に原点から引いた接線の方程式を求める問題です。 2つ目の問題は、関数 $y = \frac{6x}{x^2 + 9}$ の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1つ目の問題は、曲線 $y = x\cos x$ に原点から引いた接線の方程式を求める問題です。

2つ目の問題は、関数 $y = \frac{6x}{x^2 + 9}$ の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

**1つ目の問題**

1. 接点の座標を $(t, t\cos t)$ とおきます。

2. $y = x\cos x$ を微分して、$y' = \cos x - x\sin x$ を得ます。

3. $x=t$ における接線の傾きは $\cos t - t\sin t$ です。

4. 原点を通る接線の方程式は $y = (\cos t - t\sin t)x$ となります。

5. この接線は $(t, t\cos t)$ を通るので、$t\cos t = (\cos t - t\sin t)t$ が成り立ちます。

6. これを整理すると、$t^2\sin t = 0$ となります。

7. $t=0$ または $\sin t = 0$ となります。$t=0$ は明らかに接点ではないので、$\sin t = 0$ を考えます。

8. $\sin t = 0$ となるのは、$t = n\pi$ （$n$ は整数）のときです。ただし、$t=0$ は除きます。

9. $n=1$ のとき、$t = \pi$ となり、接点の座標は$(\pi, -\pi)$、接線の傾きは $-1$ です。

1

0. したがって、接線の方程式は $y = -x$ となります。

**2つ目の問題**

1. $y = \frac{6x}{x^2+9}$ を微分します。

$y' = \frac{6(x^2+9) - 6x(2x)}{(x^2+9)^2} = \frac{6x^2+54 - 12x^2}{(x^2+9)^2} = \frac{-6x^2+54}{(x^2+9)^2} = \frac{-6(x^2-9)}{(x^2+9)^2} = \frac{-6(x-3)(x+3)}{(x^2+9)^2}$

2. $y' = 0$ となるのは、$x = 3$ または $x = -3$ のときです。

3. 増減表を作成します。

| x | ... | -3 | ... | 3 | ... |

| ---- | ---- | --- | ---- | --- | ---- |

| y' | - | 0 | + | 0 | - |

| y | ↓ | -1 | ↑ | 1 | ↓ |

4. 増減表から、x = -3 で極小値 -1 を、x = 3 で極大値 1 をとることがわかります。

5. また、$ \lim_{x \to \infty} \frac{6x}{x^2+9} = 0 $、$ \lim_{x \to -\infty} \frac{6x}{x^2+9} = 0 $ であることから、x=3 で最大値 1, x=-3 で最小値 -1 となります。

3. 最終的な答え

1つ目の問題の答え：$y = -x$

2つ目の問題の答え：最大値 1、最小値 -1