次の3つの関数の定義域と値域を求める問題です。 (1) $y = \log_{10}x$ (2) $y = \sqrt{x^2 - 4}$ (3) $y = \frac{3-x}{x-2}$

1. 問題の内容

次の3つの関数の定義域と値域を求める問題です。

(1) $y = \log_{10}x$

(2) $y = \sqrt{x^2 - 4}$

(3) $y = \frac{3-x}{x-2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \log_{10}x$ の場合

定義域：

対数関数 $\log_{a}x$ において、真数 $x$ は正でなければなりません。したがって、$x>0$です。

値域：

対数関数は任意の実数値をとることができます。

(2) $y = \sqrt{x^2 - 4}$ の場合

定義域：

平方根の中身は非負でなければなりません。つまり、$x^2 - 4 \geq 0$となる必要があります。

$x^2 \geq 4$

$x \leq -2$ または $x \geq 2$

値域：

平方根の関数は非負の値しか取りません。また、$x$ が $\pm \infty$ に近づくにつれて、$y$ も $\infty$ に近づきます。$x = \pm 2$ のとき、$y = 0$です。したがって、$y \geq 0$となります。

(3) $y = \frac{3-x}{x-2}$ の場合

定義域：

分母が0になることはありません。したがって、$x-2 \neq 0$、つまり、$x \neq 2$です。

値域：

$y = \frac{3-x}{x-2}$を変形して、$x$ について解きます。

$y(x-2) = 3-x$

$yx - 2y = 3 - x$

$yx + x = 3 + 2y$

$x(y+1) = 3 + 2y$

$x = \frac{3+2y}{y+1}$

分母が0になることはありません。したがって、$y+1 \neq 0$、つまり、$y \neq -1$です。

3. 最終的な答え

(1) $y = \log_{10}x$

定義域：$x > 0$

値域：すべての実数

(2) $y = \sqrt{x^2 - 4}$

定義域：$x \leq -2$ または $x \geq 2$

値域：$y \geq 0$

(3) $y = \frac{3-x}{x-2}$

定義域：$x \neq 2$

値域：$y \neq -1$