与えられた15個の関数について、それぞれの微分を求めます。

はい、承知いたしました。問題集の微分問題について、以下に解答を記載します。

1. 問題の内容

与えられた15個の関数について、それぞれの微分を求めます。

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で微分を求めます。

1. $y=(x^2-2x+5)^4$

合成関数の微分法を用います。$u = x^2 - 2x + 5$ とおくと、$y = u^4$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 4u^3 \cdot (2x - 2) = 4(x^2 - 2x + 5)^3 (2x - 2) = 8(x-1)(x^2-2x+5)^3$

2. $y=(x^2-2x+5)^{-4}$

合成関数の微分法を用います。$u = x^2 - 2x + 5$ とおくと、$y = u^{-4}$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -4u^{-5} \cdot (2x - 2) = -4(x^2 - 2x + 5)^{-5} (2x - 2) = -8(x-1)(x^2-2x+5)^{-5}$

3. $y = \sin 2x$

合成関数の微分法を用います。$u = 2x$ とおくと、$y = \sin u$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos u \cdot 2 = 2\cos 2x$

4. $y = \cos (\frac{x}{2})$

合成関数の微分法を用います。$u = \frac{x}{2}$ とおくと、$y = \cos u$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\sin u \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2})$

5. $y = \sin(2x^2)$

合成関数の微分法を用います。$u = 2x^2$ とおくと、$y = \sin u$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos u \cdot 4x = 4x\cos(2x^2)$

6. $y = \sin(\sin x)$

合成関数の微分法を用います。$u = \sin x$ とおくと、$y = \sin u$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos u \cdot \cos x = \cos(\sin x) \cos x$

7. $y = \sin(\sin^2 x)$

合成関数の微分法を用います。$u = \sin^2 x$ とおくと、$y = \sin u$となります。さらに、$v = \sin x$とおくと、$u = v^2$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = \cos u \cdot 2v \cdot \cos x = \cos(\sin^2 x) \cdot 2\sin x \cdot \cos x = 2\sin x \cos x \cos(\sin^2 x) = \sin 2x \cos(\sin^2 x)$

8. $y = \arcsin 2x$

合成関数の微分法を用います。$u = 2x$ とおくと、$y = \arcsin u$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

9. $y = \arccos 2x$

合成関数の微分法を用います。$u = 2x$ とおくと、$y = \arccos u$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot 2 = -\frac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}} = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

1

0. $y = \arctan 2x$

合成関数の微分法を用います。$u = 2x$ とおくと、$y = \arctan u$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{1+u^2} \cdot 2 = \frac{2}{1+(2x)^2} = \frac{2}{1+4x^2}$

1

1. $y = (\frac{1}{2})^x$

指数関数の微分を用います。$y = a^x$ のとき、$\frac{dy}{dx} = a^x \ln a$ です。

$\frac{dy}{dx} = (\frac{1}{2})^x \ln (\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^x (-\ln 2) = -(\frac{1}{2})^x \ln 2$

1

2. $y = e^{\frac{1}{x}}$

合成関数の微分法を用います。$u = \frac{1}{x} = x^{-1}$ とおくと、$y = e^u$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot (-x^{-2}) = e^{\frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$

1

3. $y = \log 2x$

合成関数の微分法を用います。ここでは底が10の常用対数と仮定します。

$u = 2x$ とおくと、$y = \log u$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u \ln 10} \cdot 2 = \frac{2}{2x \ln 10} = \frac{1}{x \ln 10}$

もし自然対数ならば

$y = \ln 2x$

$u = 2x$ とおくと、$y = \ln u$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot 2 = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$

1

4. $y = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

1

5. $y = \sqrt{\frac{x-1}{x-2}}$

$y = (\frac{x-1}{x-2})^{\frac{1}{2}}$

$u = \frac{x-1}{x-2}$とすると、$y=u^{\frac{1}{2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (\frac{x-1}{x-2})^{-\frac{1}{2}} \frac{(x-2)-(x-1)}{(x-2)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{x-2}{x-1}} \frac{-1}{(x-2)^2} = -\frac{1}{2(x-2)^2}\sqrt{\frac{x-2}{x-1}}$

3. 最終的な答え

1. $8(x-1)(x^2-2x+5)^3$

2. $-8(x-1)(x^2-2x+5)^{-5}$

3. $2\cos 2x$

4. $-\frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2})$

5. $4x\cos(2x^2)$

6. $\cos(\sin x) \cos x$

7. $\sin 2x \cos(\sin^2 x)$

8. $\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

9. $-\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

1

0. $\frac{2}{1+4x^2}$

1

1. $-(\frac{1}{2})^x \ln 2$

1

2. $-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$

1

3. $\frac{1}{x \ln 10}$ (常用対数), $\frac{1}{x}$ (自然対数)

1

4. $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

1

5. $-\frac{1}{2(x-2)^2}\sqrt{\frac{x-2}{x-1}}$