問題は以下の2つです。 (1) 無限級数 $\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + \dots$ の和を求める。 (2) 極限 $\lim_{x\to 0} \frac{x \sin x}{1 - \cos x}$ を求める。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) 無限級数 $\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + \dots$ の和を求める。

(2) 極限 $\lim_{x\to 0} \frac{x \sin x}{1 - \cos x}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 無限級数の和を求める。

一般項は $\frac{1}{n(n+1)}$ と表せる。これは部分分数分解できる。

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

したがって、部分和は

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1}$

無限級数の和は、部分和の極限である。

$\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = 1$

(2) 極限を求める。

$\lim_{x\to 0} \frac{x \sin x}{1 - \cos x}$

$1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ を用いると、

$\lim_{x\to 0} \frac{x \sin x}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} = \lim_{x\to 0} \frac{x}{ \sin \frac{x}{2}} \cdot \frac{\sin x}{2 \sin \frac{x}{2}} = \lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin \frac{x}{2}} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{x}{2\sin \frac{x}{2}} = \lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin x}{x}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であり、$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin \frac{x}{2}} = \lim_{x \to 0} 2\frac{\frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} = 2 \cdot 1 = 2$ である。

よって、

$\lim_{x\to 0} \frac{x \sin x}{1 - \cos x} = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 2