3次方程式 $x^3 - 2x^2 + (a-3)x + a = 0$ が2重解を持つとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 2x^2 + (a-3)x + a = 0$ が2重解を持つとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3次方程式を因数分解することを試みます。$x = -1$ を代入すると、

$(-1)^3 - 2(-1)^2 + (a-3)(-1) + a = -1 - 2 - a + 3 + a = 0$

となるため、$x = -1$ はこの方程式の解の一つです。したがって、$x+1$ は与えられた3次式の因数となります。

次に、組み立て除法または筆算によって、$x^3 - 2x^2 + (a-3)x + a$ を $x+1$ で割ります。

$x^3 - 2x^2 + (a-3)x + a = (x+1)(x^2 - 3x + a)$

元の3次方程式が2重解を持つためには、2次方程式 $x^2 - 3x + a = 0$ が次のいずれかの条件を満たす必要があります。

(1) $x^2 - 3x + a = 0$ が $x = -1$ を解に持つ。

(2) $x^2 - 3x + a = 0$ が重解を持つ。

(1)の場合、$x = -1$ を $x^2 - 3x + a = 0$ に代入すると、

$(-1)^2 - 3(-1) + a = 1 + 3 + a = 0$

$a = -4$

このとき、$x^2 - 3x - 4 = 0$ なので、$(x-4)(x+1) = 0$ となり、解は $x = -1, 4$ となります。

元の3次方程式の解は $x = -1, -1, 4$ となり、$x=-1$ は2重解です。

(2)の場合、$x^2 - 3x + a = 0$ が重解を持つので、判別式 $D = (-3)^2 - 4(1)(a) = 9 - 4a = 0$ となります。

よって、$a = \frac{9}{4}$ です。

このとき、$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = 0$ なので、$(x - \frac{3}{2})^2 = 0$ となり、解は $x = \frac{3}{2}$ となります。

元の3次方程式の解は $x = -1, \frac{3}{2}, \frac{3}{2}$ となり、$x = \frac{3}{2}$ は2重解です。

したがって、$a = -4$ または $a = \frac{9}{4}$ です。

3. 最終的な答え

$a = -4, \frac{9}{4}$