与えられた関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 26$ について、以下の問いに答えます。 (1) 関数 $y = f(x)$ の極大値と極小値、および方程式 $f(x) = 0$ の実数解の個数を求めます。 (2) 原点Oと曲線 $y = f(x)$ 上の点Pを結ぶ線分OPの中点Mの描く曲線 $y = g(x)$ を求め、そのグラフの概形と $x \ge 0$ における関数 $y = g(x)$ の最小値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 26$ について、以下の問いに答えます。

(1) 関数 $y = f(x)$ の極大値と極小値、および方程式 $f(x) = 0$ の実数解の個数を求めます。

(2) 原点Oと曲線 $y = f(x)$ 上の点Pを結ぶ線分OPの中点Mの描く曲線 $y = g(x)$ を求め、そのグラフの概形と $x \ge 0$ における関数 $y = g(x)$ の最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2 - 12x - 15 = 3(x^2 - 4x - 5) = 3(x-5)(x+1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -1$ または $x = 5$ のときです。

$f''(x) = 6x - 12$ なので、

$f''(-1) = -6 - 12 = -18 < 0$ より、$x = -1$ で極大値をとり、

$f''(5) = 30 - 12 = 18 > 0$ より、$x = 5$ で極小値をとります。

$f(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 - 15(-1) + 26 = -1 - 6 + 15 + 26 = 34$

$f(5) = (5)^3 - 6(5)^2 - 15(5) + 26 = 125 - 150 - 75 + 26 = -74$

したがって、$x = -1$ で極大値34をとり、$x = 5$ で極小値-74をとります。

次に、方程式 $f(x) = 0$ の実数解の個数を求めます。$f(-1) = 34 > 0$ で $f(5) = -74 < 0$ であること、および $f(x)$ が3次関数であることから、実数解は3個となります。

（$x$ が十分小さいとき $f(x) < 0$ であり、$x=-1$ で極大値34を取るので $f(x)=0$ となる正の解が2つ、負の解が1つ存在することが分かります。）

(2)

点Pの座標を $(t, f(t))$ とすると、線分OPの中点Mの座標は $(\frac{t}{2}, \frac{f(t)}{2})$ となります。

$x = \frac{t}{2}$ より $t = 2x$ なので、

$g(x) = \frac{f(2x)}{2} = \frac{(2x)^3 - 6(2x)^2 - 15(2x) + 26}{2} = \frac{8x^3 - 24x^2 - 30x + 26}{2} = 4x^3 - 12x^2 - 15x + 13$

したがって、$g(x) = 4x^3 - 12x^2 - 15x + 13$ です。

$g'(x) = 12x^2 - 24x - 15 = 3(4x^2 - 8x - 5) = 3(2x + 1)(2x - 5)$

$g'(x) = 0$ となるのは $x = -\frac{1}{2}$ または $x = \frac{5}{2}$ のときです。

$g''(x) = 24x - 24$ なので、

$g''(-\frac{1}{2}) = -12 - 24 = -36 < 0$ より、$x = -\frac{1}{2}$ で極大値をとり、

$g''(\frac{5}{2}) = 60 - 24 = 36 > 0$ より、$x = \frac{5}{2}$ で極小値をとります。

$g(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{8}) - 12(\frac{1}{4}) - 15(-\frac{1}{2}) + 13 = -\frac{1}{2} - 3 + \frac{15}{2} + 13 = 4+10 = 21/2 = 21/2$

$g(\frac{5}{2}) = 4(\frac{125}{8}) - 12(\frac{25}{4}) - 15(\frac{5}{2}) + 13 = \frac{125}{2} - 75 - \frac{75}{2} + 13 = \frac{50}{2} - 62 = 25 - 62 = -37$

$x \ge 0$ における $g(x)$ の最小値を求めます。$g(0) = 13$ であり、$x = \frac{5}{2}$ で極小値 $-37$ をとるので、$x \ge 0$ における最小値は $-37$ となります。

グラフの概形は、原点付近の傾きが負であり、xが大きくなるにつれて増加していくので、選択肢の(2)となります。

3. 最終的な答え

アイ: -1

ウエ: 34

オ: 5

カキク: -74

ケ: 3

コ: 4

サシ: -12

スセ: -15

ソタ: 13

チ: (2)

ツテト: -37