放物線 $C: y = x^2 - (a+1)x + a$ と直線 $l: y = 2x - 2$ があり、$C$ と $l$ の2つの交点を $A, B$ とする。ただし、$A$ の $x$ 座標 < $B$ の $x$ 座標である。 (1) $C$ と $l$ で囲まれる図形の面積 $S_1$ を求める。 (2) 点 $B$ における $C$ の接線 $m$ の方程式を求め、$C$ と $m$ および $y$ 軸で囲まれる図形の面積 $S_2$ を求める。 (3) $U = S_2 - 3S_1$ とおく。$a > -1$ のときの $U$ の増減を調べ、$U$ が最大値をとる $a$ の値を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 - (a+1)x + a$ と直線 $l: y = 2x - 2$ があり、$C$ と $l$ の2つの交点を $A, B$ とする。ただし、$A$ の $x$ 座標 < $B$ の $x$ 座標である。

(1) $C$ と $l$ で囲まれる図形の面積 $S_1$ を求める。

(2) 点 $B$ における $C$ の接線 $m$ の方程式を求め、$C$ と $m$ および $y$ 軸で囲まれる図形の面積 $S_2$ を求める。

(3) $U = S_2 - 3S_1$ とおく。$a > -1$ のときの $U$ の増減を調べ、$U$ が最大値をとる $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $C$ と $l$ の交点の $x$ 座標を求める。

$x^2 - (a+1)x + a = 2x - 2$

$x^2 - (a+3)x + a + 2 = 0$

$(x-1)(x-(a+2)) = 0$

$x = 1, a+2$

$a > -1$ より、$a+2 > 1$

$S_1 = \int_{1}^{a+2} \{ (2x-2) - (x^2 - (a+1)x + a) \} dx$

$S_1 = \int_{1}^{a+2} (-x^2 + (a+3)x - a - 2) dx$

$S_1 = [-\frac{x^3}{3} + \frac{(a+3)x^2}{2} - (a+2)x]_1^{a+2}$

$S_1 = \{ -\frac{(a+2)^3}{3} + \frac{(a+3)(a+2)^2}{2} - (a+2)^2 \} - \{ -\frac{1}{3} + \frac{a+3}{2} - (a+2) \}$

$S_1 = -\frac{(a+2)^3}{3} + \frac{(a+3)(a+2)^2}{2} - (a+2)^2 + \frac{1}{3} - \frac{a+3}{2} + a + 2$

$S_1 = (a+2)^2 \{ -\frac{(a+2)}{3} + \frac{(a+3)}{2} - 1 \} + \frac{1}{3} - \frac{a+3}{2} + a + 2$

$S_1 = (a+2)^2 \{ \frac{-2a-4 + 3a+9 - 6}{6} \} + \frac{2-3a-9+6a+12}{6}$

$S_1 = (a+2)^2 (\frac{a-1}{6}) + \frac{3a+5}{6}$

$S_1 = \frac{1}{6}(a^3 + 3a^2 -4)$

$S_1 = \frac{(a+2-1)^3}{6} = \frac{(a+1)^3}{6}$

(2) 点 $B$ の $x$ 座標は $a+2$ なので、$B$ の $y$ 座標は $2(a+2)-2 = 2a+2$

$y = x^2 - (a+1)x + a$

$y' = 2x - (a+1)$

点 $B$ における接線 $m$ の傾きは $2(a+2) - (a+1) = 2a+4 - a - 1 = a+3$

$m: y = (a+3)(x-(a+2)) + 2a+2$

$y = (a+3)x - (a+3)(a+2) + 2a+2$

$y = (a+3)x - a^2 - 5a - 6 + 2a + 2$

$y = (a+3)x - a^2 - 3a - 4$

$C: y = x^2 - (a+1)x + a$

$m: y = (a+3)x - a^2 - 3a - 4$

$S_2 = \int_{0}^{a+2} \{ (x^2 - (a+1)x + a) - ((a+3)x - a^2 - 3a - 4) \} dx$

$S_2 = \int_{0}^{a+2} (x^2 - (2a+4)x + a^2 + 4a + 4) dx$

$S_2 = \int_{0}^{a+2} (x^2 - 2(a+2)x + (a+2)^2) dx$

$S_2 = \int_{0}^{a+2} (x - (a+2))^2 dx$

$S_2 = [\frac{1}{3}(x - (a+2))^3]_0^{a+2}$

$S_2 = 0 - \frac{1}{3}(-a-2)^3 = \frac{1}{3}(a+2)^3$

(3) $U = S_2 - 3S_1 = \frac{1}{3}(a+2)^3 - 3\frac{(a+1)^3}{6} = \frac{1}{3}(a+2)^3 - \frac{1}{2}(a+1)^3$

$U = \frac{1}{3}(a^3+6a^2+12a+8) - \frac{1}{2}(a^3+3a^2+3a+1)$

$U = \frac{1}{3}a^3 + 2a^2 + 4a + \frac{8}{3} - \frac{1}{2}a^3 - \frac{3}{2}a^2 - \frac{3}{2}a - \frac{1}{2}$

$U = -\frac{1}{6}a^3 + \frac{1}{2}a^2 + \frac{5}{2}a + \frac{13}{6}$

$\frac{dU}{da} = -\frac{1}{2}a^2 + a + \frac{5}{2} = 0$

$-a^2 + 2a + 5 = 0$

$a^2 - 2a - 5 = 0$

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$

$a > -1$ より $a = 1+\sqrt{6}$

$U = -\frac{1}{6}(1+\sqrt{6})^3 + \frac{1}{2}(1+\sqrt{6})^2 + \frac{5}{2}(1+\sqrt{6}) + \frac{13}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $S_1 = \frac{(a+1)^3}{6}$

(2) $y = (a+3)x - a^2 - 3a - 4$, $S_2 = \frac{(a+2)^3}{3}$

(3) $a = 1 + \sqrt{6}$