与えられた二次関数の指定された範囲における最大値と最小値を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について、それぞれの範囲における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = x^2 + 2x + 3$ ($-2 \leq x \leq 2$) (2) $y = -x^2 + 4x - 3$ ($0 \leq x \leq 3$) (3) $y = 3x^2 + 6x - 1$ ($1 \leq x \leq 3$) (4) $y = -2x^2 + 12x$ ($0 \leq x \leq 6$)

1. 問題の内容

与えられた二次関数の指定された範囲における最大値と最小値を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について、それぞれの範囲における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x^2 + 2x + 3$ ($-2 \leq x \leq 2$)

(2) $y = -x^2 + 4x - 3$ ($0 \leq x \leq 3$)

(3) $y = 3x^2 + 6x - 1$ ($1 \leq x \leq 3$)

(4) $y = -2x^2 + 12x$ ($0 \leq x \leq 6$)

2. 解き方の手順

各二次関数について、平方完成を行い、頂点の座標を求めます。その後、指定された範囲における関数の増減を考慮し、最大値と最小値を決定します。

(1) $y = x^2 + 2x + 3$ ($-2 \leq x \leq 2$)

平方完成すると、$y = (x+1)^2 + 2$となります。

頂点は $(-1, 2)$ です。

範囲 $-2 \leq x \leq 2$ において、

$x = -1$ のとき最小値 $2$ をとります。

$x = 2$ のとき最大値 $(2+1)^2 + 2 = 9+2 = 11$ をとります。

(2) $y = -x^2 + 4x - 3$ ($0 \leq x \leq 3$)

平方完成すると、$y = -(x-2)^2 + 1$となります。

頂点は $(2, 1)$ です。

範囲 $0 \leq x \leq 3$ において、

$x = 2$ のとき最大値 $1$ をとります。

$x = 0$ のとき最小値 $-0^2 + 4(0) - 3 = -3$ をとります。

(3) $y = 3x^2 + 6x - 1$ ($1 \leq x \leq 3$)

平方完成すると、$y = 3(x+1)^2 - 4$となります。

頂点は $(-1, -4)$ です。

範囲 $1 \leq x \leq 3$ において、

$x = 1$ のとき最小値 $3(1)^2 + 6(1) - 1 = 3 + 6 - 1 = 8$ をとります。

$x = 3$ のとき最大値 $3(3)^2 + 6(3) - 1 = 27 + 18 - 1 = 44$ をとります。

(4) $y = -2x^2 + 12x$ ($0 \leq x \leq 6$)

平方完成すると、$y = -2(x-3)^2 + 18$となります。

頂点は $(3, 18)$ です。

範囲 $0 \leq x \leq 6$ において、

$x = 3$ のとき最大値 $18$ をとります。

$x = 0$ のとき最小値 $-2(0)^2 + 12(0) = 0$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $11$、最小値: $2$

(2) 最大値: $1$、最小値: $-3$

(3) 最大値: $44$、最小値: $8$

(4) 最大値: $18$、最小値: $0$