実数係数の3次方程式 $x^3 - 5x^2 + ax + b = 0$ が $3+2i$ を解に持つとき、実数 $a, b$ の値を求め、他の解を求めよ。

1. 問題の内容

実数係数の3次方程式 $x^3 - 5x^2 + ax + b = 0$ が $3+2i$ を解に持つとき、実数 $a, b$ の値を求め、他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 実数係数の多項式方程式が複素数 $3+2i$ を解に持つとき、共役複素数 $3-2i$ も解に持つ。

(2) 方程式の解を $\alpha, 3+2i, 3-2i$ とおく。解と係数の関係より、

3つの解の和は $5$ である。

$\alpha + (3+2i) + (3-2i) = 5$

$\alpha + 6 = 5$

$\alpha = -1$

したがって、他の解は $-1$ である。

(3) 解と係数の関係より、

2つの解の積の和は $a$ である。

$a = \alpha(3+2i) + \alpha(3-2i) + (3+2i)(3-2i)$

$a = -1(3+2i) -1(3-2i) + (9 + 4)$

$a = -3 - 2i -3 + 2i + 13$

$a = 7$

(4) 解と係数の関係より、

3つの解の積は $-b$ である。

$-b = \alpha(3+2i)(3-2i)$

$-b = -1(9+4)$

$-b = -13$

$b = 13$

3. 最終的な答え

$a = 7$, $b = 13$, 他の解は $-1$