袋の中に白玉6個と黒玉3個が入っている。この袋から玉を1個ずつ、元に戻さずに2回取り出すとき、白玉が出る回数を確率変数 $X$ とする。確率変数 $X$ の確率分布を求めなさい。$X$ の値が小さい順に入力する。

1. 問題の内容

袋の中に白玉6個と黒玉3個が入っている。この袋から玉を1個ずつ、元に戻さずに2回取り出すとき、白玉が出る回数を確率変数 $X$ とする。確率変数 $X$ の確率分布を求めなさい。$X$ の値が小さい順に入力する。

2. 解き方の手順

まず、確率変数 $X$ が取りうる値を考える。2回玉を取り出すので、白玉が出る回数 $X$ は0回、1回、2回のいずれかである。

それぞれの確率を計算する。

* $X=0$ (白玉が0回) のとき：2回とも黒玉を取り出す確率。

1回目に黒玉を取り出す確率は $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$。

1回目に黒玉を取り出した後、残りの玉は白玉6個、黒玉2個なので、2回目に黒玉を取り出す確率は $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$。

したがって、$X=0$ となる確率は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$。

* $X=1$ (白玉が1回) のとき：1回目に白玉が出て2回目に黒玉が出るか、1回目に黒玉が出て2回目に白玉が出るかのいずれかである。

1回目に白玉が出て2回目に黒玉が出る確率は $\frac{6}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$。

1回目に黒玉が出て2回目に白玉が出る確率は $\frac{3}{9} \times \frac{6}{8} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$。

したがって、$X=1$ となる確率は $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。

* $X=2$ (白玉が2回) のとき：2回とも白玉を取り出す確率。

1回目に白玉を取り出す確率は $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$。

1回目に白玉を取り出した後、残りの玉は白玉5個、黒玉3個なので、2回目に白玉を取り出す確率は $\frac{5}{8}$。

したがって、$X=2$ となる確率は $\frac{2}{3} \times \frac{5}{8} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$。

確率分布は以下のようになる。

X | 0 | 1 | 2

---|-----|-----|-----

P | 1/12| 1/2 | 5/12

$X$ の値が小さい順に確率は 1/12, 1/2, 5/12 となる。

確率の合計は $\frac{1}{12} + \frac{1}{2} + \frac{5}{12} = \frac{1}{12} + \frac{6}{12} + \frac{5}{12} = \frac{12}{12} = 1$ となり、確率分布として正しい。

3. 最終的な答え

X = 0 のとき、P = 1/12

X = 1 のとき、P = 1/2

X = 2 のとき、P = 5/12