曲線 $4x^2 + 2y^2 = 1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $4x^2 + 2y^2 = 1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた式を変形します。

$4x^2 + 2y^2 = 1$

$2y^2 = 1 - 4x^2$

$y^2 = \frac{1 - 4x^2}{2}$

$y = \pm \sqrt{\frac{1 - 4x^2}{2}}$

この曲線は楕円を表しています。

$x$の範囲は $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$です。

$y$の範囲は $-\frac{1}{\sqrt{2}} \le y \le \frac{1}{\sqrt{2}}$です。

面積を求めるために、$x$軸より上の部分の面積を求め、それを2倍します。

$S = 2\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 - 4x^2}{2}} dx$

$S = 2\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1 - (2x)^2} dx$

ここで、$2x = \sin\theta$と置換します。

$2dx = \cos\theta d\theta$

$dx = \frac{1}{2}\cos\theta d\theta$

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin\theta = -1$ なので、$\theta = -\frac{\pi}{2}$

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin\theta = 1$ なので、$\theta = \frac{\pi}{2}$

$S = 2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1 - \sin^2\theta} \cdot \frac{1}{2}\cos\theta d\theta$

$S = \frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta d\theta$

$S = \frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos2\theta}{2} d\theta$

$S = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\theta + \frac{1}{2}\sin2\theta\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$

$S = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\frac{\pi}{2} + 0 - \left(-\frac{\pi}{2}\right) - 0\right]$

$S = \frac{1}{2\sqrt{2}} \pi$

$S = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} = \frac{\pi\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi\sqrt{2}}{4}$