与えられた関数を微分する問題です。関数は全部で8つあります。 (1) $y = \sin^3 4x$ (2) $y = \frac{1}{\cos x}$ (3) $y = \sqrt{\tan x}$ (4) $y = e^{-3x} \sin 2x$ (5) $y = \log |1-x^2|$ (6) $y = \log |\tan x|$ (7) $y = \frac{1}{\log(x^2+1)}$ (8) $y = \frac{\log(1-x^2)}{e^{2x}}$

はい、承知いたしました。画像にある次の関数の微分を計算します。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。関数は全部で8つあります。

(1) $y = \sin^3 4x$

(2) $y = \frac{1}{\cos x}$

(3) $y = \sqrt{\tan x}$

(4) $y = e^{-3x} \sin 2x$

(5) $y = \log |1-x^2|$

(6) $y = \log |\tan x|$

(7) $y = \frac{1}{\log(x^2+1)}$

(8) $y = \frac{\log(1-x^2)}{e^{2x}}$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で微分を計算します。

(1) $y = \sin^3 4x$

合成関数の微分を使います。

$y' = 3 \sin^2 4x \cdot (\sin 4x)' = 3 \sin^2 4x \cdot (\cos 4x) \cdot 4 = 12 \sin^2 4x \cos 4x$

(2) $y = \frac{1}{\cos x}$

$y = (\cos x)^{-1}$ と書き換えて微分します。

$y' = -(\cos x)^{-2} \cdot (-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} = \tan x \sec x$

または、$y=\sec x$として微分公式から$y'=\sec x \tan x$を得ることもできます。

(3) $y = \sqrt{\tan x}$

$y = (\tan x)^{1/2}$ と書き換えて微分します。

$y' = \frac{1}{2} (\tan x)^{-1/2} \cdot (\tan x)' = \frac{1}{2} (\tan x)^{-1/2} \cdot \sec^2 x = \frac{\sec^2 x}{2\sqrt{\tan x}}$

(4) $y = e^{-3x} \sin 2x$

積の微分を使います。

$y' = (e^{-3x})' \sin 2x + e^{-3x} (\sin 2x)' = -3 e^{-3x} \sin 2x + e^{-3x} (2 \cos 2x) = e^{-3x} (2 \cos 2x - 3 \sin 2x)$

(5) $y = \log |1-x^2|$

$y' = \frac{1}{1-x^2} \cdot (1-x^2)' = \frac{-2x}{1-x^2} = \frac{2x}{x^2-1}$

(6) $y = \log |\tan x|$

$y' = \frac{1}{\tan x} \cdot (\tan x)' = \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} = 2\csc 2x$

(7) $y = \frac{1}{\log(x^2+1)}$

$y = (\log(x^2+1))^{-1}$ と書き換えて微分します。

$y' = -(\log(x^2+1))^{-2} \cdot (\log(x^2+1))' = -\frac{1}{(\log(x^2+1))^2} \cdot \frac{1}{x^2+1} \cdot (2x) = -\frac{2x}{(x^2+1)(\log(x^2+1))^2}$

(8) $y = \frac{\log(1-x^2)}{e^{2x}}$

商の微分を使います。

$y' = \frac{(\log(1-x^2))' e^{2x} - \log(1-x^2) (e^{2x})'}{(e^{2x})^2} = \frac{\frac{-2x}{1-x^2} e^{2x} - \log(1-x^2) (2e^{2x})}{e^{4x}} = \frac{e^{2x} (\frac{-2x}{1-x^2} - 2\log(1-x^2))}{e^{4x}} = \frac{-2x - 2(1-x^2)\log(1-x^2)}{(1-x^2)e^{2x}} = \frac{-2x - 2(1-x^2)\log(1-x^2)}{(1-x^2)e^{2x}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 12 \sin^2 4x \cos 4x$

(2) $y' = \tan x \sec x$

(3) $y' = \frac{\sec^2 x}{2\sqrt{\tan x}}$

(4) $y' = e^{-3x} (2 \cos 2x - 3 \sin 2x)$

(5) $y' = \frac{2x}{x^2-1}$

(6) $y' = 2\csc 2x$

(7) $y' = -\frac{2x}{(x^2+1)(\log(x^2+1))^2}$

(8) $y' = \frac{-2x - 2(1-x^2)\log(1-x^2)}{(1-x^2)e^{2x}}$