関数 $y = x^{3x}$ を対数微分法で微分する問題です。ただし、$x>0$とします。

1. 問題の内容

関数 $y = x^{3x}$ を対数微分法で微分する問題です。ただし、$x>0$とします。

2. 解き方の手順

ステップ1: 両辺の自然対数をとります。

$\ln{y} = \ln{(x^{3x})}$

ステップ2: 対数の性質を用いて式を簡略化します。

$\ln{y} = 3x \ln{x}$

ステップ3: 両辺を$x$で微分します。左辺は$y$に関する合成関数の微分として計算します。右辺は積の微分法を用います。

$\frac{d}{dx} (\ln{y}) = \frac{d}{dx} (3x \ln{x})$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3\ln{x} + 3x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3\ln{x} + 3$

ステップ4: $\frac{dy}{dx}$について解きます。

$\frac{dy}{dx} = y (3\ln{x} + 3)$

ステップ5: $y = x^{3x}$を代入します。

$\frac{dy}{dx} = x^{3x} (3\ln{x} + 3)$

ステップ6: 3でくくって式を整理します。

$\frac{dy}{dx} = 3x^{3x} (\ln{x} + 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 3x^{3x}(\ln{x} + 1)$