関数 $f(x)$ が以下のように定義されています。 $ f(x) = \begin{cases} \cos x & -\frac{\pi}{2} \leq x < \frac{\pi}{2} \\ x^2 - 3e^{-x} & \frac{\pi}{2} \leq x \leq 3 \end{cases} $ このとき、区間 $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq 3$ における積分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{3} f(x) dx$ を求めよ。ただし、問題文 (2) 及び (3)a, (3)b の性質を用いること。

## 問題 (3)c

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が以下のように定義されています。

$ f(x) =

\begin{cases}

\cos x & -\frac{\pi}{2} \leq x < \frac{\pi}{2} \\

x^2 - 3e^{-x} & \frac{\pi}{2} \leq x \leq 3

\end{cases}

$$

このとき、区間 $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq 3$ における積分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{3} f(x) dx$ を求めよ。ただし、問題文 (2) 及び (3)a, (3)b の性質を用いること。

2. 解き方の手順

まず積分区間を分割します。積分区間 $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq 3$ は、$-\frac{\pi}{2} \leq x < \frac{\pi}{2}$ と $\frac{\pi}{2} \leq x \leq 3$ に分割できます。

したがって、積分は以下のように分割されます。

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{3} f(x) dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{3} f(x) dx$

$f(x)$ の定義より、各区間での $f(x)$ はそれぞれ $\cos x$ と $x^2 - 3e^{-x}$ で表されるので、積分は以下のようになります。

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{3} f(x) dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{3} (x^2 - 3e^{-x}) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 2$

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{3} (x^2 - 3e^{-x}) dx = [\frac{1}{3}x^3 + 3e^{-x}]_{\frac{\pi}{2}}^{3} = (\frac{1}{3}(3^3) + 3e^{-3}) - (\frac{1}{3}(\frac{\pi}{2})^3 + 3e^{-\frac{\pi}{2}}) = (9 + 3e^{-3}) - (\frac{\pi^3}{24} + 3e^{-\frac{\pi}{2}})$

よって、全体の積分は次のようになります。

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{3} f(x) dx = 2 + (9 + 3e^{-3}) - (\frac{\pi^3}{24} + 3e^{-\frac{\pi}{2}}) = 11 + 3e^{-3} - \frac{\pi^3}{24} - 3e^{-\frac{\pi}{2}}$

3. 最終的な答え

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{3} f(x) dx = 11 + 3e^{-3} - \frac{\pi^3}{24} - 3e^{-\frac{\pi}{2}}$