定積分 $\int_{-1}^{1} x \sin^{-1}x \, dx$ を計算してください。ここで $\sin^{-1}x$ は逆正弦関数を表します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} x \sin^{-1}x \, dx$ を計算してください。ここで $\sin^{-1}x$ は逆正弦関数を表します。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = x \sin^{-1}x$ が奇関数か偶関数かを調べます。

$f(-x) = (-x) \sin^{-1}(-x) = (-x)(-\sin^{-1}x) = x \sin^{-1}x = f(x)$ なので、$f(x)$ は偶関数です。

したがって、

$\int_{-1}^{1} x \sin^{-1}x \, dx = 2 \int_{0}^{1} x \sin^{-1}x \, dx$

となります。

部分積分を使って $\int_{0}^{1} x \sin^{-1}x \, dx$ を計算します。

$u = \sin^{-1}x$, $dv = x \, dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$, $v = \frac{1}{2}x^2$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を使うと、

$\int_{0}^{1} x \sin^{-1}x \, dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 \sin^{-1}x \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2}x^2 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

$= \frac{1}{2}(1^2 \sin^{-1}1 - 0^2 \sin^{-1}0) - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

$= \frac{1}{2} \sin^{-1}1 - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

$\sin^{-1}1 = \frac{\pi}{2}$ なので、

$\int_{0}^{1} x \sin^{-1}x \, dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

次に $\int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ を計算します。

$x = \sin\theta$ と置換すると、$dx = \cos\theta \, d\theta$ となり、

$x=0$ のとき $\theta=0$, $x=1$ のとき $\theta=\frac{\pi}{2}$ となるので、

$\int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2\theta}{\sqrt{1-\sin^2\theta}} \cos\theta \, d\theta$

$= \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \cos\theta \, d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \sin^2\theta \, d\theta$

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ なので、

$\int_{0}^{\pi/2} \sin^2\theta \, d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \, d\theta = \left[ \frac{\theta}{2} - \frac{\sin(2\theta)}{4} \right]_{0}^{\pi/2}$

$= \left( \frac{\pi/2}{2} - \frac{\sin(\pi)}{4} \right) - \left( \frac{0}{2} - \frac{\sin(0)}{4} \right) = \frac{\pi}{4}$

したがって、

$\int_{0}^{1} x \sin^{-1}x \, dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{8}$

よって、

$\int_{-1}^{1} x \sin^{-1}x \, dx = 2 \int_{0}^{1} x \sin^{-1}x \, dx = 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$