与えられた曲線について、$x$ の値が指定された点における接線の方程式を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。 (1) $y = x^3$, $x=2$ (2) $y = \frac{1}{x^2}$, $x=-1$ (3) $y = \cos x$, $x=\pi$ (4) $y = e^x$, $x=-2$

1. 問題の内容

与えられた曲線について、$x$ の値が指定された点における接線の方程式を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。

(1) $y = x^3$, $x=2$

(2) $y = \frac{1}{x^2}$, $x=-1$

(3) $y = \cos x$, $x=\pi$

(4) $y = e^x$, $x=-2$

2. 解き方の手順

接線の方程式は一般的に $y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。ここで、$(x_1, y_1)$ は接点の座標、$m$ は接線の傾きです。

各問題について、以下の手順で接線の方程式を求めます。

(1) 接点の $y$ 座標 $y_1$ を計算する。

(2) 導関数を計算し、接線の傾き $m$ を計算する。

(3) 接線の方程式を求める。

(1) $y = x^3$, $x=2$ の場合

(1) $y_1 = 2^3 = 8$

(2) $y' = 3x^2$. $x=2$ のとき $m = 3(2^2) = 12$

(3) $y - 8 = 12(x - 2)$ より $y = 12x - 24 + 8$

(2) $y = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$, $x=-1$ の場合

(1) $y_1 = \frac{1}{(-1)^2} = 1$

(2) $y' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$. $x=-1$ のとき $m = -\frac{2}{(-1)^3} = 2$

(3) $y - 1 = 2(x + 1)$ より $y = 2x + 2 + 1$

(3) $y = \cos x$, $x=\pi$ の場合

(1) $y_1 = \cos \pi = -1$

(2) $y' = -\sin x$. $x=\pi$ のとき $m = -\sin \pi = 0$

(3) $y - (-1) = 0(x - \pi)$ より $y = -1$

(4) $y = e^x$, $x=-2$ の場合

(1) $y_1 = e^{-2}$

(2) $y' = e^x$. $x=-2$ のとき $m = e^{-2}$

(3) $y - e^{-2} = e^{-2}(x + 2)$ より $y = e^{-2}x + 2e^{-2} + e^{-2}$

3. 最終的な答え

(1) $y = 12x - 16$

(2) $y = 2x + 3$

(3) $y = -1$

(4) $y = e^{-2}x + 3e^{-2}$