曲線 $y = x^2 - 2x$ と $x$ 軸で囲まれた部分を、$x$ 軸の周りに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 - 2x$ と $x$ 軸で囲まれた部分を、$x$ 軸の周りに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、$y = x^2 - 2x$ と $x$ 軸との交点を求めます。$y = 0$ とおくと、$x^2 - 2x = 0$ より、$x(x - 2) = 0$ となり、$x = 0, 2$ が交点です。

(2) 求める回転体の体積 $V$ は、回転体の体積の公式を用いて計算できます。$y = f(x)$ を $x$ 軸の周りに $a$ から $b$ まで回転させたときの体積は、

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

で求められます。

(3) 今回の場合、$f(x) = x^2 - 2x$、$a = 0$、$b = 2$ なので、

$V = \pi \int_{0}^{2} (x^2 - 2x)^2 dx$

となります。

(4) 積分を計算します。

$V = \pi \int_{0}^{2} (x^4 - 4x^3 + 4x^2) dx$

$V = \pi [\frac{1}{5}x^5 - x^4 + \frac{4}{3}x^3]_0^2$

$V = \pi (\frac{32}{5} - 16 + \frac{32}{3})$

$V = \pi (\frac{96 - 240 + 160}{15})$

$V = \pi (\frac{16}{15})$

3. 最終的な答え

$V = \frac{16}{15}\pi$