2重積分 $\iint_D x \, dx \, dy$ の値を求める問題。ここで、$D = \{(x, y) | 0 \leq x^2 + y^2 \leq 2y\}$ である。

1. 問題の内容

2重積分 $\iint_D x \, dx \, dy$ の値を求める問題。ここで、$D = \{(x, y) | 0 \leq x^2 + y^2 \leq 2y\}$ である。

2. 解き方の手順

まず、積分領域 $D$ を極座標で表す。

$x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ とおくと、$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$ となる。

積分領域の条件 $0 \leq x^2 + y^2 \leq 2y$ を極座標で書き換えると、

$0 \leq r^2 \leq 2 r \sin \theta$ となる。

$r > 0$ より、$0 \leq r \leq 2 \sin \theta$ となる。

また、$2 \sin \theta \geq 0$ であることから、$-\pi \leq \theta \leq \pi$ において $0 \leq \theta \leq \pi$ となる。

したがって、積分は次のように書き換えられる。

$\iint_D x \, dx \, dy = \int_0^\pi \int_0^{2\sin\theta} (r \cos \theta) r \, dr \, d\theta = \int_0^\pi \int_0^{2\sin\theta} r^2 \cos \theta \, dr \, d\theta$

まず、$r$ について積分する。

$\int_0^{2\sin\theta} r^2 \, dr = \left[ \frac{1}{3} r^3 \right]_0^{2\sin\theta} = \frac{8}{3} \sin^3 \theta$

したがって、

$\iint_D x \, dx \, dy = \int_0^\pi \frac{8}{3} \sin^3 \theta \cos \theta \, d\theta$

$\sin \theta = u$ とおくと、$du = \cos \theta \, d\theta$ となる。

$\theta = 0$ のとき、$u = \sin 0 = 0$

$\theta = \pi$ のとき、$u = \sin \pi = 0$

$\int_0^\pi \sin^3 \theta \cos \theta \, d\theta = \int_0^0 u^3 \, du = 0$

したがって、

$\iint_D x \, dx \, dy = \frac{8}{3} \int_0^\pi \sin^3 \theta \cos \theta \, d\theta = \frac{8}{3} \left[ \frac{1}{4} \sin^4 \theta \right]_0^\pi = \frac{8}{3} \left( \frac{1}{4} \sin^4 \pi - \frac{1}{4} \sin^4 0 \right) = \frac{8}{3} \left( 0 - 0 \right) = 0$

3. 最終的な答え

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