関数 $y = e^{\frac{1}{x}}$ のグラフの概形を描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{\frac{1}{x}}$ のグラフの概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

まず、定義域、漸近線、増減などを調べてグラフの概形を把握します。

(1) 定義域：$x \neq 0$

(2) 漸近線：

* $x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ なので、$y \to e^0 = 1$。よって、$y=1$は漸近線。

* $x \to -\infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ なので、$y \to e^0 = 1$。よって、$y=1$は漸近線。

* $x \to +0$ のとき、$\frac{1}{x} \to +\infty$ なので、$y \to \infty$。よって、$x=0$に漸近。

* $x \to -0$ のとき、$\frac{1}{x} \to -\infty$ なので、$y \to 0$。よって、$x=0$に漸近。

(3) 増減：

$y' = e^{\frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{1}{x^2} e^{\frac{1}{x}}$

$y' < 0$ なので、常に減少関数。

(4) グラフの概形：

上記の情報を基にグラフを描くと、$x=0$付近で$x>0$の時は正の方向に発散し、$x<0$の時は0に近づく。$x$が正の無限大に近づく、あるいは負の無限大に近づくときは、$y$は1に近づく。

3. 最終的な答え

グラフの概形は、$x > 0$ で $y$ は $\infty$ から 1 に向かって単調に減少、$x < 0$ で $y$ は 0 から 1 に向かって単調に増加する曲線。$y = 1$ は漸近線。