関数 $y = e^{\frac{1}{x}}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{\frac{1}{x}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を用いる。

$u = \frac{1}{x}$ とおくと、$y = e^u$ となる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、$\frac{dy}{du}$ と $\frac{du}{dx}$ をそれぞれ求める。

まず、$y = e^u$ を $u$ で微分すると、

$\frac{dy}{du} = e^u$

次に、$u = \frac{1}{x} = x^{-1}$ を $x$ で微分すると、

$\frac{du}{dx} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = e^{\frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$