与えられた関数に対して、n次導関数を求める問題です。関数は2つあります。 (1) $e^{3x-1}$ (2) $\sin(2x+3)$

1. 問題の内容

与えられた関数に対して、n次導関数を求める問題です。関数は2つあります。

(1) $e^{3x-1}$

(2) $\sin(2x+3)$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = e^{3x-1}$ の場合

まず、いくつかの導関数を計算して、規則性を見つけます。

$f'(x) = 3e^{3x-1}$

$f''(x) = 3^2 e^{3x-1}$

$f'''(x) = 3^3 e^{3x-1}$

このパターンから、n次導関数は

$f^{(n)}(x) = 3^n e^{3x-1}$

となることが予想できます。

(2) $g(x) = \sin(2x+3)$ の場合

同様に、いくつかの導関数を計算します。

$g'(x) = 2\cos(2x+3) = 2\sin(2x+3 + \frac{\pi}{2})$

$g''(x) = -2^2\sin(2x+3) = 2^2\sin(2x+3 + 2\cdot \frac{\pi}{2})$

$g'''(x) = -2^3\cos(2x+3) = 2^3\sin(2x+3 + 3\cdot \frac{\pi}{2})$

このパターンから、n次導関数は

$g^{(n)}(x) = 2^n \sin(2x+3 + n\frac{\pi}{2})$

となることが予想できます。

3. 最終的な答え

(1) $f^{(n)}(x) = 3^n e^{3x-1}$

(2) $g^{(n)}(x) = 2^n \sin(2x+3 + n\frac{\pi}{2})$