右の図形の面積と等しい面積を持つ正方形を作る場合、正方形の一辺の長さを $x$ の一次式で表す問題です。

1. 問題の内容

右の図形の面積と等しい面積を持つ正方形を作る場合、正方形の一辺の長さを $x$ の一次式で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた図形の面積を計算します。図形は長方形と正方形が組み合わさった形と見なせるので、それぞれの面積を計算して合計します。

長方形の縦の長さは $x+4$ cm、横の長さは $x+16$ cmなので、長方形の面積は

$(x+4)(x+16)$ 平方cmです。

正方形の一辺の長さは $x$ cmなので、正方形の面積は $x^2$ 平方cmです。

したがって、図形の面積 $S$ は

$S = (x+4)(x+16) + x^2$

$= x^2 + 20x + 64 + x^2$

$= 2x^2 + 20x + 64$

次に、この図形と同じ面積を持つ正方形の一辺の長さを $a$ とすると、$a^2 = S$ が成り立ちます。したがって、

$a = \sqrt{S} = \sqrt{2x^2 + 20x + 64}$

問題文には「$x$ の一次式で答えなさい」と書かれていますが、$a = \sqrt{2x^2 + 20x + 64}$ は一般的に $x$ の一次式ではありません。

しかし、問題文から、$\sqrt{2x^2 + 20x + 64}$ が $x$ の一次式で表せることを仮定します。

ここで与えられた図形の面積を整理すると、

$2x^2 + 20x + 64 = 2(x^2 + 10x + 32)$

$= 2(x^2 + 10x + 25 + 7)$

$= 2((x+5)^2 + 7)$

図形の面積が正方形の面積と等しくなるためには、$x$ の二次式を平方完成したときの形から、うまくルートが外れるように調整する必要があります。

ここで図形の面積 $S$ は $2x^2 + 20x + 64$ です。この面積を持つ正方形の一辺の長さを $L$ とします。すると、$L = \sqrt{2x^2 + 20x + 64}$ となります。

$x$ の一次式で表せることを考えると、$L$ が $Ax + B$ の形で表せると仮定します（$A, B$ は定数）。

すると、$L^2 = (Ax+B)^2 = A^2 x^2 + 2ABx + B^2 = 2x^2 + 20x + 64$ となります。

係数を比較すると、$A^2 = 2$ なので、$A = \sqrt{2}$ となります。

また、$2AB = 20$ なので、$2 \sqrt{2} B = 20$。よって、$B = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2}$ となります。

最後に、$B^2 = (5 \sqrt{2})^2 = 50$ となりますが、$64$ と一致しません。

問題文に与えられている図形の寸法と、「$x$の一次式で答えなさい」という条件から、問題の設定に誤りがある可能性があります。もしくは、問題文の図形の面積を計算する際に、どこか勘違いをしている可能性があります。

しかし、最も可能性の高い解釈としては、図形の面積を計算する際に、長方形を分割して計算している可能性があります。

つまり、縦 $x+4$, 横 $x+16$ の長方形から、縦 $x$, 横 $x$ の正方形を取り除いた面積と見なします。その場合、$S=(x+4)(x+16)-x^2=x^2+20x+64-x^2=20x+64$となります。

この時、正方形の一辺は$\sqrt{20x+64}$となり、一次式では表せません。

3. 最終的な答え

問題の設定に誤りがある可能性があるため、正確な答えを導出することはできません。

しかし、もし問題文が「図形の面積と**近似的に**同じ面積の正方形をつくるとき」であれば、平方完成を行い、$2x^2 + 20x + 64 \approx 2(x+5)^2 = (\sqrt{2}(x+5))^2$ と近似できるので、正方形の一辺の長さは $\sqrt{2}x + 5\sqrt{2}$ cmとなります。

仮に$2x^2 + 20x + 64 =(ax+b)^2$と表せると仮定する。$a^2=2$より、$a=\sqrt{2}$、$2ab = 20$より、$b= 10/\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$。$b^2 = 50$となり、$64$とは一致しない。そのため、正方形の一辺の長さを$x$の一次式で表すことはできない。

したがって、**解答不能**です。