袋の中に白玉3個と黒玉2個が入っている。この袋から玉を1個ずつ、元に戻さずに2回続けて取り出す。このとき、白玉が出る回数を確率変数 $X$ とするとき、$X$ の標準偏差を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に白玉3個と黒玉2個が入っている。この袋から玉を1個ずつ、元に戻さずに2回続けて取り出す。このとき、白玉が出る回数を確率変数 $X$ とするとき、$X$ の標準偏差を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$X$ の取りうる値は 0, 1, 2 である。それぞれの確率を計算する。

- $P(X=0)$：2回とも黒玉が出る確率

　$P(X=0) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

- $P(X=1)$：1回だけ白玉が出る確率

　$P(X=1) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$

- $P(X=2)$：2回とも白玉が出る確率

　$P(X=2) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

次に、$X$ の期待値 $E(X)$ を計算する。

$E(X) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{3}{5} + 2 \times \frac{3}{10} = 0 + \frac{3}{5} + \frac{6}{10} = \frac{6}{10} + \frac{6}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

次に、$X^2$ の期待値 $E(X^2)$ を計算する。

$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{10} + 1^2 \times \frac{3}{5} + 2^2 \times \frac{3}{10} = 0 + \frac{3}{5} + 4 \times \frac{3}{10} = \frac{6}{10} + \frac{12}{10} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$

次に、$X$ の分散 $V(X)$ を計算する。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{9}{5} - (\frac{6}{5})^2 = \frac{9}{5} - \frac{36}{25} = \frac{45}{25} - \frac{36}{25} = \frac{9}{25}$

最後に、$X$ の標準偏差 $\sigma(X)$ を計算する。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

3/5