命題「$p: n$ は 24 の約数ならば $q: n$ は 36 の約数である」の真偽を判定し、偽である場合は反例を挙げる。ここで、$n$は自然数である。

1. 問題の内容

命題「$p: n$ は 24 の約数ならば $q: n$ は 36 の約数である」の真偽を判定し、偽である場合は反例を挙げる。ここで、$n$は自然数である。

2. 解き方の手順

まず、$p$を満たす $n$ の集合と、$q$を満たす $n$ の集合を考える。

$p$ を満たす $n$ の集合（24 の約数の集合）は $\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$ である。

$q$ を満たす $n$ の集合（36 の約数の集合）は $\{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$ である。

命題 $p \implies q$ が真であるためには、$p$を満たす全ての $n$ が $q$ も満たす必要がある。

言い換えると、$p$の集合が$q$の集合に含まれている必要がある。

$p$の集合 $\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$ と $q$ の集合 $\{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$ を比較すると、$8$ や $24$ は $p$ に含まれるが $q$ には含まれない。

したがって、$n=8$ または $n=24$ のとき、$p$は真だが $q$ は偽となるため、命題 $p \implies q$ は偽である。

反例としては、$n=8$ を挙げることができる。なぜなら、$8$は 24 の約数だが 36 の約数ではないからである。

同様に、$n=24$ も反例となる。

3. 最終的な答え

偽

反例: 8 (または 24)