1, 2, 3, 4, 5 の数字が書かれたカードがそれぞれ1枚, 3枚, 3枚, 2枚, 1枚ある。この中から1枚引くときに出る数字を $X$ とする。$X$ の確率分布と期待値 $E(X)$ が与えられている。このとき $X$ の標準偏差を求めなさい。

1. 問題の内容

1, 2, 3, 4, 5 の数字が書かれたカードがそれぞれ1枚, 3枚, 3枚, 2枚, 1枚ある。この中から1枚引くときに出る数字を $X$ とする。$X$ の確率分布と期待値 $E(X)$ が与えられている。このとき $X$ の標準偏差を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、$X$ の分散 $V(X)$ を求める。$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ であり、$E(X)$ は与えられているので、$E(X^2)$ を求める。

$E(X^2) = \sum_{i=1}^{5} x_i^2 P(X=x_i)$

$= 1^2 \cdot \frac{1}{10} + 2^2 \cdot \frac{3}{10} + 3^2 \cdot \frac{3}{10} + 4^2 \cdot \frac{2}{10} + 5^2 \cdot \frac{1}{10}$

$= \frac{1}{10} + \frac{12}{10} + \frac{27}{10} + \frac{32}{10} + \frac{25}{10}$

$= \frac{97}{10}$

次に、$V(X)$ を計算する。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

$= \frac{97}{10} - (\frac{29}{10})^2$

$= \frac{97}{10} - \frac{841}{100}$

$= \frac{970 - 841}{100}$

$= \frac{129}{100}$

最後に、$X$ の標準偏差 $\sigma(X)$ を求める。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

$= \sqrt{\frac{129}{100}}$

$= \frac{\sqrt{129}}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{129}}{10}$