白玉6個、黒玉3個が入った袋から、玉を1個ずつ元に戻さずに2回続けて取り出すとき、白玉の出る回数を$X$とする。このとき、$X$の標準偏差を求めよ。

1. 問題の内容

白玉6個、黒玉3個が入った袋から、玉を1個ずつ元に戻さずに2回続けて取り出すとき、白玉の出る回数を$X$とする。このとき、$X$の標準偏差を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$X$の取りうる値とそれぞれの確率を求めます。

$X$は白玉の出る回数なので、$X$は0, 1, 2のいずれかの値をとります。

* $X = 0$ (2回とも黒玉が出る) の確率:

1回目に黒玉が出る確率は $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$。

1回目に黒玉が出た後、2回目に黒玉が出る確率は $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$。

したがって、$P(X=0) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$

* $X = 1$ (1回白玉、1回黒玉) の確率:

1回目に白玉が出て2回目に黒玉が出る確率は $\frac{6}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{1}{4}$。

1回目に黒玉が出て2回目に白玉が出る確率は $\frac{3}{9} \times \frac{6}{8} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$。

したがって、$P(X=1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

* $X = 2$ (2回とも白玉が出る) の確率:

1回目に白玉が出る確率は $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$。

1回目に白玉が出た後、2回目に白玉が出る確率は $\frac{5}{8}$。

したがって、$P(X=2) = \frac{2}{3} \times \frac{5}{8} = \frac{5}{12}$

次に、$X$の期待値 $E(X)$ を計算します。

$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) = 0 \times \frac{1}{12} + 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{5}{12} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{5}{6} = \frac{3}{6} + \frac{5}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

次に、$X^2$ の期待値 $E(X^2)$ を計算します。

$E(X^2) = 0^2 \times P(X=0) + 1^2 \times P(X=1) + 2^2 \times P(X=2) = 0 \times \frac{1}{12} + 1 \times \frac{1}{2} + 4 \times \frac{5}{12} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{5}{3} = \frac{3}{6} + \frac{10}{6} = \frac{13}{6}$

次に、$X$ の分散 $V(X)$ を計算します。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{13}{6} - (\frac{4}{3})^2 = \frac{13}{6} - \frac{16}{9} = \frac{39}{18} - \frac{32}{18} = \frac{7}{18}$

最後に、$X$ の標準偏差 $\sigma(X)$ を計算します。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{7}{18}} = \sqrt{\frac{14}{36}} = \frac{\sqrt{14}}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{14}}{6}$