袋の中に1等のくじが1本、2等のくじが2本、3等のくじが7本入っている。1等の賞金は100円、2等の賞金は50円、3等の賞金は10円である。この袋からくじを1本取り出すとき、当たる賞金をXとする。このとき、Xの標準偏差を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に1等のくじが1本、2等のくじが2本、3等のくじが7本入っている。1等の賞金は100円、2等の賞金は50円、3等の賞金は10円である。この袋からくじを1本取り出すとき、当たる賞金をXとする。このとき、Xの標準偏差を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、賞金Xの確率分布を求める。

くじは全部で $1 + 2 + 7 = 10$ 本ある。

* 1等の賞金100円が当たる確率は $P(X=100) = \frac{1}{10}$

* 2等の賞金50円が当たる確率は $P(X=50) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

* 3等の賞金10円が当たる確率は $P(X=10) = \frac{7}{10}$

次に、Xの期待値 $E(X)$ を求める。

$E(X) = 100 \cdot \frac{1}{10} + 50 \cdot \frac{1}{5} + 10 \cdot \frac{7}{10} = 10 + 10 + 7 = 27$

次に、Xの2乗の期待値 $E(X^2)$ を求める。

$E(X^2) = 100^2 \cdot \frac{1}{10} + 50^2 \cdot \frac{1}{5} + 10^2 \cdot \frac{7}{10} = 1000 + 500 + 70 = 1570$

次に、Xの分散 $V(X)$ を求める。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1570 - 27^2 = 1570 - 729 = 841$

最後に、Xの標準偏差 $\sigma(X)$ を求める。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{841} = 29$

3. 最終的な答え

29