一辺の長さが2の正四面体ABCDがあり、辺BCの中点をMとする。 (1) $\cos \angle AMD$ の値を求める。 (2) 直線BCに関して点Dと対称な点をEとする。線分AEの長さを求める。 (3) Eは(2)で定めた点とし、辺BDの中点をNとする。三角形AENの面積を求め、点Bから平面AENに垂線を引いたときの交点をHとして、線分BHの長さを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正四面体ABCDがあり、辺BCの中点をMとする。

(1) $\cos \angle AMD$ の値を求める。

(2) 直線BCに関して点Dと対称な点をEとする。線分AEの長さを求める。

(3) Eは(2)で定めた点とし、辺BDの中点をNとする。三角形AENの面積を求め、点Bから平面AENに垂線を引いたときの交点をHとして、線分BHの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \angle AMD$ の値を求める。

AMとDMは正三角形ABC, DBCの高さなので $AM = DM = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3}$ 。

$AD=2$なので、三角形AMDに余弦定理を用いると、

$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \times AM \times DM \times \cos \angle AMD$

$2^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \cos \angle AMD$

$4 = 3 + 3 - 6 \cos \angle AMD$

$6 \cos \angle AMD = 2$

$\cos \angle AMD = \frac{1}{3}$

(2) 線分AEの長さを求める。

Eは直線BCに関してDと対称な点なので、$BM=MC$, $BC \perp DM$, $BC \perp EM$となる。

また、$DM=EM$となる。

ここで、四角形BCDEはひし形となる。よって、$BE=CD=2$となる。

三角形ABEにおいて、AB=2, BE=2, $\angle ABE = \angle ABC + \angle CBE = \angle ABC + \angle CBD = \angle ABD$。正四面体なので$\angle ABE = 60^\circ$。

三角形ABEは正三角形なので、$AE=2$。

(3) 三角形AENの面積を求め、線分BHの長さを求める。

NはBDの中点なので、$BN = ND = 1$。

まずANを求める。三角形ABDにおいて、AB=AD=2, BD=2, NはBDの中点なので、$AN \perp BD$となる。

$AN = \sqrt{AD^2 - ND^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$。

次にENを求める。三角形BDEは正三角形なので、NはBDの中点なので、$EN \perp BD$となる。

$EN = \sqrt{DE^2 - ND^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$。

AE=2, AN=$\sqrt{3}$, EN=$\sqrt{3}$なので、三角形AENは二等辺三角形となる。

AからENに垂線を下ろし、交点をIとする。

$EI = \frac{1}{2} EN = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$AI = \sqrt{AE^2 - EI^2} = \sqrt{2^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{4 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$

三角形AENの面積は、$\frac{1}{2} \times EN \times AI = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{13}}{2} = \frac{\sqrt{39}}{4}$。

点Bから平面AENに下ろした垂線の長さを求める。

正四面体ABCDの体積は、$\frac{\sqrt{2}}{12} \times 2^3 = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。

四面体BAENの体積は、四面体ABCDの体積の半分になるので$\frac{\sqrt{2}}{3}$。

四面体BAENの体積 = $\frac{1}{3} \times \triangle AEN \times BH$

$\frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{39}}{4} \times BH$

$BH = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{39}} = \frac{4\sqrt{78}}{39}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \angle AMD = \frac{1}{3}$

(2) $AE=2$

(3) $\triangle AEN = \frac{\sqrt{39}}{4}$, $BH = \frac{4\sqrt{78}}{39}$