$V$ が有限次元ベクトル空間で、$W$ が $V$ の部分空間であるとき、次の2つを示す。 (1) $\dim(W) \leq \dim(V)$ (2) $\dim(W) = \dim(V)$ ならば $W = V$

1. 問題の内容

$V$ が有限次元ベクトル空間で、$W$ が $V$ の部分空間であるとき、次の2つを示す。

(1) $\dim(W) \leq \dim(V)$

(2) $\dim(W) = \dim(V)$ ならば $W = V$

2. 解き方の手順

(1) の証明:

$W$ は $V$ の部分空間なので、$W$ の基底 $\{w_1, w_2, ..., w_k\}$ は $V$ の線形独立なベクトルからなる集合である。

もし $k = \dim(V)$ なら、$W = V$ である。もし $k < \dim(V)$ なら、$W$ の基底を $V$ の基底に拡張できる。つまり、ある $v_1, ..., v_m \in V$ が存在して、$\{w_1, ..., w_k, v_1, ..., v_m\}$ が $V$ の基底になる。

このとき、$k + m = \dim(V)$ であるから、$k \leq \dim(V)$ が成り立つ。つまり、$\dim(W) \leq \dim(V)$。

(2) の証明:

$\dim(W) = \dim(V)$ とする。$W$ は $V$ の部分空間なので、$W \subseteq V$ である。

$\dim(W) = k$ とすると、$W$ の基底 $\{w_1, ..., w_k\}$ は $V$ の線形独立なベクトルからなる集合である。

$\dim(V) = k$ なので、$V$ の基底も $k$ 個のベクトルからなる。したがって、$\{w_1, ..., w_k\}$ は $V$ の基底でもある。

$V$ の任意のベクトル $v$ は、$v = a_1 w_1 + ... + a_k w_k$ と線形結合で表せる。

したがって、$v \in W$ となり、$V \subseteq W$ である。

$W \subseteq V$ かつ $V \subseteq W$ なので、$W = V$。

3. 最終的な答え

(1) $\dim(W) \leq \dim(V)$

(2) $W = V$