円周率 $\pi$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{\pi}$ が無理数であることを証明します。

1. 問題の内容

円周率 $\pi$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{\pi}$ が無理数であることを証明します。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。

(1) $\sqrt{\pi}$ が有理数であると仮定します。

(2) $\sqrt{\pi}$ が有理数であるとき、ある整数 $p$ と $q$ ($q \neq 0$) を用いて、$\sqrt{\pi} = \frac{p}{q}$ と表すことができます。

(3) 上記の式を2乗すると、

$$(\sqrt{\pi})^2 = \left(\frac{p}{q}\right)^2$$

$$\pi = \frac{p^2}{q^2}$$

となります。

(4) ここで、$p^2$ も $q^2$ も整数であり、$q^2 \neq 0$ であるため、$\frac{p^2}{q^2}$ は有理数です。

(5) したがって、$\pi$ は有理数であることになります。

(6) これは、$\pi$ が無理数であるという仮定に矛盾します。

(7) よって、$\sqrt{\pi}$ が有理数であるという仮定は誤りであり、$\sqrt{\pi}$ は無理数である必要があります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{\pi}$ は無理数である。