2つの連立方程式 $\begin{cases} 3x+y=7 \\ ax+5y=2 \end{cases}$ と $\begin{cases} 2x+by=4 \\ x-y=5 \end{cases}$ が同じ解を持つとき、$a$と$b$の値を求めます。

1. 問題の内容

2つの連立方程式

$\begin{cases} 3x+y=7 \\ ax+5y=2 \end{cases}$

と

$\begin{cases} 2x+by=4 \\ x-y=5 \end{cases}$

が同じ解を持つとき、$a$と$b$の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、右側の連立方程式から $x$ と $y$ の値を求めます。

$x - y = 5$ より、$x = y + 5$ です。

これを $2x + by = 4$ に代入して、

$2(y+5) + by = 4$

$2y + 10 + by = 4$

$(2+b)y = -6$

しかし、右側の連立方程式 $2x+by=4$ と $x-y=5$ だけでは、$x$と$y$が求まらないので、$b$を求めることはできません。問題文に誤りがある可能性があります。

そこで、右側の連立方程式 $x-y=5$ を用いて $x$ と $y$ の関係式を得て、左側の連立方程式 $3x+y=7$ を用いて $x$ と $y$ の値を求めることにします。

$x-y=5$ より $x=y+5$ であるから、$3x+y=7$ に代入すると、

$3(y+5)+y = 7$

$3y+15+y = 7$

$4y = -8$

$y = -2$

$x = y+5$ に $y = -2$ を代入すると、$x = -2+5 = 3$ です。

したがって、連立方程式の解は $x = 3$, $y = -2$ です。

この解を $ax+5y=2$ に代入すると、

$3a + 5(-2) = 2$

$3a - 10 = 2$

$3a = 12$

$a = 4$

この解を $2x+by=4$ に代入すると、

$2(3) + b(-2) = 4$

$6 - 2b = 4$

$-2b = -2$

$b = 1$

3. 最終的な答え

$a = 4$

$b = 1$