ベクトル $\vec{a} = (4, -1)$ と $\vec{b} = (x, 2)$ が垂直であるとき、$x$ の値を求め、さらにそのときの $\vec{b}$ と平行な単位ベクトルを求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (4, -1)$ と $\vec{b} = (x, 2)$ が垂直であるとき、$x$ の値を求め、さらにそのときの $\vec{b}$ と平行な単位ベクトルを求める。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直であるとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ となる。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (4)(x) + (-1)(2) = 4x - 2$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ より、

$4x - 2 = 0$

$4x = 2$

$x = \frac{1}{2}$

したがって、$\vec{b} = (\frac{1}{2}, 2)$ となる。

$\vec{b}$ と平行な単位ベクトル $\vec{e}$ を求める。まず $\vec{b}$ の大きさを計算する。

$|\vec{b}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 4} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2}$

$\vec{b}$ と平行な単位ベクトル $\vec{e}$ は $\vec{e} = \pm \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ で与えられる。

$\vec{e} = \pm \frac{(\frac{1}{2}, 2)}{\frac{\sqrt{17}}{2}} = \pm (\frac{1}{\sqrt{17}}, \frac{4}{\sqrt{17}}) = \pm (\frac{\sqrt{17}}{17}, \frac{4\sqrt{17}}{17})$

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{2}$

$\vec{b}$ と平行な単位ベクトルは $(\frac{\sqrt{17}}{17}, \frac{4\sqrt{17}}{17})$ と $(-\frac{\sqrt{17}}{17}, -\frac{4\sqrt{17}}{17})$。