実数 $a$ と $x$ に対して、$y=(x^2+7x+12)^2 + a(x^2+7x+12)$ が与えられています。 (1) $X=x^2+7x+12$ とおいたとき、$X$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めます。 (2) $a=3$ のときの $y$ の最小値を求めます。 (3) $y$ の最小値が $-11$ であるような $a$ の値をすべて求めます。

1. 問題の内容

実数 $a$ と $x$ に対して、$y=(x^2+7x+12)^2 + a(x^2+7x+12)$ が与えられています。

(1) $X=x^2+7x+12$ とおいたとき、$X$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めます。

(2) $a=3$ のときの $y$ の最小値を求めます。

(3) $y$ の最小値が $-11$ であるような $a$ の値をすべて求めます。

2. 解き方の手順

(1) $X = x^2 + 7x + 12$ を平方完成します。

$X = (x + \frac{7}{2})^2 - (\frac{7}{2})^2 + 12 = (x + \frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4} + \frac{48}{4} = (x + \frac{7}{2})^2 - \frac{1}{4}$

$X$ は $(x + \frac{7}{2})^2 \geq 0$ より、$x = -\frac{7}{2}$ のとき最小値 $-\frac{1}{4}$ をとります。

(2) $y = X^2 + aX = X^2 + 3X$ $(a=3)$

$y = (X + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 = (X + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$

$X = x^2 + 7x + 12$ であり、$X$ の最小値は $-\frac{1}{4}$ なので、$X$ はすべての実数をとるわけではありません。

$X$ の範囲は $X \geq -\frac{1}{4}$ です。

$y = (X + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$ は、$X \geq -\frac{1}{4}$ において、$X = -\frac{1}{4}$ で最小値をとります。

$y_{min} = (-\frac{1}{4} + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} = (\frac{5}{4})^2 - \frac{9}{4} = \frac{25}{16} - \frac{36}{16} = -\frac{11}{16}$

(3) $y = X^2 + aX = (X + \frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2 = (X + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4}$

$X \geq -\frac{1}{4}$ より、場合分けが必要です。

(i) $-\frac{a}{2} \geq -\frac{1}{4}$ つまり $a \leq \frac{1}{2}$ のとき、$X = -\frac{1}{4}$ で最小値をとります。

$y_{min} = (-\frac{1}{4})^2 + a(-\frac{1}{4}) = \frac{1}{16} - \frac{a}{4} = -11$

$\frac{1}{16} - \frac{a}{4} = -11 \Rightarrow 1 - 4a = -176 \Rightarrow 4a = 177 \Rightarrow a = \frac{177}{4} > \frac{1}{2}$

これは $a \leq \frac{1}{2}$ に矛盾するので、解なしです。

(ii) $-\frac{a}{2} < -\frac{1}{4}$ つまり $a > \frac{1}{2}$ のとき、$X = -\frac{a}{2}$ で最小値をとります。

$y_{min} = (-\frac{a}{2} + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} = - \frac{a^2}{4} = -11$

$\frac{a^2}{4} = 11 \Rightarrow a^2 = 44 \Rightarrow a = \pm 2\sqrt{11}$

$a > \frac{1}{2}$ より、$a = 2\sqrt{11}$

3. 最終的な答え

(1) $X$ の最小値は $-\frac{1}{4}$ であり、そのときの $x$ の値は $-\frac{7}{2}$ です。

(2) $a = 3$ のとき、$y$ の最小値は $-\frac{11}{16}$ です。

(3) $y$ の最小値が $-11$ であるような $a$ の値は、$2\sqrt{11}$ です。