与えられた式 $2x^2 + 5xy - 3y^2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 5xy - 3y^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた式は $x$ と $y$ の2変数を含む2次式です。

この式を因数分解するには、まず $2x^2 + 5xy - 3y^2$ の形を $(ax + by)(cx + dy)$ と仮定します。ここで、$a, b, c, d$ は定数です。

展開すると、$acx^2 + (ad + bc)xy + bdy^2$ となります。

したがって、$ac = 2$, $ad + bc = 5$, $bd = -3$ を満たす $a, b, c, d$ を見つけます。

$ac = 2$ より、$a = 2$, $c = 1$ と仮定してみます。

すると、$2d + b = 5$ と $bd = -3$ が得られます。

$bd = -3$ より、$b = 3$, $d = -1$ または $b = -3$, $d = 1$ または $b = 1$, $d = -3$ または $b = -1$, $d = 3$ が考えられます。

$b = 3$, $d = -1$ の場合、$2d + b = 2(-1) + 3 = 1$ となり、$2d + b = 5$ を満たしません。

$b = -3$, $d = 1$ の場合、$2d + b = 2(1) - 3 = -1$ となり、$2d + b = 5$ を満たしません。

$b = 1$, $d = -3$ の場合、$2d + b = 2(-3) + 1 = -5$ となり、$2d + b = 5$ を満たしません。

$b = -1$, $d = 3$ の場合、$2d + b = 2(3) - 1 = 5$ となり、$2d + b = 5$ を満たします。

したがって、$a = 2$, $c = 1$, $b = -1$, $d = 3$ となります。

したがって、$2x^2 + 5xy - 3y^2 = (2x - y)(x + 3y)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(2x - y)(x + 3y)$