放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ を平行移動したグラフで、点 $(2, 4)$ を通り、頂点が直線 $y = 2x + 1$ 上にある。このような放物線を $y = ax^2 + bx + c$ の形で求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ を平行移動したグラフで、点 $(2, 4)$ を通り、頂点が直線 $y = 2x + 1$ 上にある。このような放物線を $y = ax^2 + bx + c$ の形で求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ を平方完成します。

$y = x^2 - 3x + 4 = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + 4 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{16}{4} = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$

この頂点は $(\frac{3}{2}, \frac{7}{4})$ です。

平行移動した放物線の頂点を $(p, q)$ とすると、その式は $y = (x-p)^2 + q$ の形になります。

ただし、問題文より、求める放物線は $y = ax^2 + bx + c$ の形なので、係数は1ではない可能性があります。

平行移動した放物線は $y = a(x-p)^2 + q$ となります。

頂点 $(p, q)$ は直線 $y = 2x + 1$ 上にあるので、$q = 2p + 1$ が成り立ちます。

よって、$y = a(x-p)^2 + 2p + 1$ と表せます。

この放物線は点 $(2, 4)$ を通るので、 $4 = a(2-p)^2 + 2p + 1$ が成り立ちます。

これを整理すると、$3 = a(2-p)^2 + 2p$ となります。

ここで、$a = 1$ の場合を考えます。

$3 = (2-p)^2 + 2p = 4 - 4p + p^2 + 2p = p^2 - 2p + 4$

$p^2 - 2p + 1 = 0$

$(p-1)^2 = 0$

$p = 1$

$q = 2p + 1 = 2(1) + 1 = 3$

したがって、頂点は $(1, 3)$ で、放物線は $y = (x-1)^2 + 3 = x^2 - 2x + 1 + 3 = x^2 - 2x + 4$ となります。

したがって、$y=x^2-2x+4$

3. 最終的な答え

$y = x^2 - 2x + 4$