与えられた分数式の引き算を計算し、できるだけ簡単にし、式をすべて展開します。 与えられた式は $\frac{x+1}{x^2-1} - \frac{x}{2x+3}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数式の引き算を計算し、できるだけ簡単にし、式をすべて展開します。

与えられた式は

$\frac{x+1}{x^2-1} - \frac{x}{2x+3}$

です。

2. 解き方の手順

ステップ1: 最初の分数の分母を因数分解します。

$x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$

したがって、最初の分数は

$\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}$

と書き換えられます。

ステップ2: 最初の分数を約分します。$x \neq -1$ のとき、$x+1$ で分子と分母を割ることができます。

$\frac{x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{1}{x-1}$

ステップ3: 二つの分数の引き算を行います。そのためには、共通の分母を見つける必要があります。共通の分母は $(x-1)(2x+3)$ です。

$\frac{1}{x-1} - \frac{x}{2x+3} = \frac{1(2x+3)}{(x-1)(2x+3)} - \frac{x(x-1)}{(x-1)(2x+3)}$

ステップ4: 分子をまとめます。

$\frac{2x+3 - x(x-1)}{(x-1)(2x+3)} = \frac{2x+3 - x^2 + x}{(x-1)(2x+3)} = \frac{-x^2 + 3x + 3}{(x-1)(2x+3)}$

ステップ5: 分母を展開します。

$\frac{-x^2 + 3x + 3}{(x-1)(2x+3)} = \frac{-x^2 + 3x + 3}{2x^2 + 3x - 2x - 3} = \frac{-x^2 + 3x + 3}{2x^2 + x - 3}$

ステップ6: 分子と分母を因数分解できるか試みます。

$-x^2 + 3x + 3$ は簡単に因数分解できません。

$2x^2 + x - 3 = (2x+3)(x-1)$

したがって、これ以上約分はできません。

3. 最終的な答え

$\frac{-x^2 + 3x + 3}{2x^2 + x - 3}$