放物線 $y=x^2 - 3x + 4$ を平行移動したグラフが、点 $(2, 4)$ を通り、頂点が直線 $y=2x+1$ 上にあるとき、その放物線の式を $y=ax^2 + bx + c$ の形で求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2 - 3x + 4$ を平行移動したグラフが、点 $(2, 4)$ を通り、頂点が直線 $y=2x+1$ 上にあるとき、その放物線の式を $y=ax^2 + bx + c$ の形で求めよ。

2. 解き方の手順

まず、平行移動した放物線の式を $y = (x-p)^2 - 3(x-p) + 4 + q$ とおきます。ここで、$p$ は $x$ 軸方向への移動量、$q$ は $y$ 軸方向への移動量を表します。

これを展開すると、

$y = x^2 - 2px + p^2 - 3x + 3p + 4 + q$

$y = x^2 - (2p+3)x + (p^2 + 3p + 4 + q)$

この放物線の頂点の $x$ 座標を $x_v$ とすると、$x_v = \frac{2p+3}{2}$ となります。

頂点の $y$ 座標を $y_v$ とすると、$y_v = 2x_v + 1 = 2 (\frac{2p+3}{2}) + 1 = 2p + 3 + 1 = 2p + 4$ となります。

また、$y = (x-p)^2 - 3(x-p) + 4 + q = (x^2-3x+4) + (-2px + p^2 + 3p + q)$の頂点の $y$ 座標を計算すると、

$y = x^2 - (2p+3)x + (p^2 + 3p + 4 + q)$なので、

$y = (x - \frac{2p+3}{2})^2 - (\frac{2p+3}{2})^2 + p^2 + 3p + 4 + q = (x - \frac{2p+3}{2})^2 - \frac{4p^2+12p+9}{4} + \frac{4p^2 + 12p + 16 + 4q}{4} = (x - \frac{2p+3}{2})^2 + \frac{7+4q}{4}$

よって頂点の $y$ 座標は $\frac{7+4q}{4}$ である。

したがって、$2p+4 = \frac{7+4q}{4}$ となるので、$8p+16 = 7+4q$ より、$4q = 8p + 9$となり、$q = 2p + \frac{9}{4}$

次に、放物線が点 $(2, 4)$ を通るので、

$4 = (2-p)^2 - 3(2-p) + 4 + q$

$4 = 4 - 4p + p^2 - 6 + 3p + 4 + q$

$4 = 2 - p + p^2 + q$

$2 = -p + p^2 + q$

ここで、$q = 2p + \frac{9}{4}$ を代入すると、

$2 = -p + p^2 + 2p + \frac{9}{4}$

$2 = p^2 + p + \frac{9}{4}$

$0 = p^2 + p + \frac{1}{4}$

$0 = (p + \frac{1}{2})^2$

$p = -\frac{1}{2}$

よって、$q = 2 (-\frac{1}{2}) + \frac{9}{4} = -1 + \frac{9}{4} = \frac{5}{4}$

$a = 1$, $b = -(2p+3) = -(-1+3) = -2$, $c = p^2 + 3p + 4 + q = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 4 + \frac{5}{4} = \frac{6}{4} - \frac{6}{4} + 4 = 4$

よって、$y = x^2 - 2x + 4$

3. 最終的な答え

$y = x^2 - 2x + 4$