問題は、次の式を満たす$t$の値を求めることです。 $\frac{t^2}{3} + 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{t^2+1} \sqrt{\frac{t^2}{9} + 1}$

1. 問題の内容

問題は、次の式を満たす$t$の値を求めることです。

$\frac{t^2}{3} + 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{t^2+1} \sqrt{\frac{t^2}{9} + 1}$

2. 解き方の手順

まず、両辺を2乗します。

$(\frac{t^2}{3} + 1)^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{t^2+1} \sqrt{\frac{t^2}{9} + 1})^2$

$(\frac{t^2}{3} + 1)^2 = \frac{3}{4} (t^2+1) (\frac{t^2}{9} + 1)$

$\frac{t^4}{9} + \frac{2t^2}{3} + 1 = \frac{3}{4} (\frac{t^4}{9} + t^2 + \frac{t^2}{9} + 1)$

$\frac{t^4}{9} + \frac{2t^2}{3} + 1 = \frac{t^4}{12} + \frac{3}{4} t^2 + \frac{t^2}{12} + \frac{3}{4}$

$\frac{t^4}{9} + \frac{2t^2}{3} + 1 = \frac{t^4}{12} + \frac{10}{12} t^2 + \frac{3}{4}$

両辺に36をかけます。

$4t^4 + 24t^2 + 36 = 3t^4 + 30t^2 + 27$

$t^4 - 6t^2 + 9 = 0$

$(t^2 - 3)^2 = 0$

$t^2 = 3$

$t = \pm \sqrt{3}$

ここで元の式を確認します。$t = \sqrt{3}$の場合：

$\frac{(\sqrt{3})^2}{3} + 1 = \frac{3}{3} + 1 = 2$

$\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{(\sqrt{3})^2+1} \sqrt{\frac{(\sqrt{3})^2}{9} + 1} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{4} \sqrt{\frac{3}{9} + 1} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{3} + 1} = \sqrt{3} \sqrt{\frac{4}{3}} = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 2$

$t = -\sqrt{3}$の場合も同様に計算すると、与えられた式を満たします。

3. 最終的な答え

$t = \pm \sqrt{3}$