与えられた4つの式を展開する問題です。 (1) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ (2) $(x-2)(x-1)(x+4)(x+8)$ (3) $(a+b-c+d)(a-b+c+d)$ (4) $(x-2)(x+2)(x^2+4)(x^4+16)$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を展開する問題です。

(1) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$

(2) $(x-2)(x-1)(x+4)(x+8)$

(3) $(a+b-c+d)(a-b+c+d)$

(4) $(x-2)(x+2)(x^2+4)(x^4+16)$

2. 解き方の手順

(1) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ の展開

まず、$(x+1)(x+4)$ と $(x+2)(x+3)$ をそれぞれ展開します。

$(x+1)(x+4) = x^2 + 5x + 4$

$(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$

ここで、$A = x^2 + 5x$ と置くと、

$(x^2+5x+4)(x^2+5x+6) = (A+4)(A+6) = A^2 + 10A + 24$

$A$を元に戻すと、

$(x^2+5x)^2 + 10(x^2+5x) + 24 = x^4 + 10x^3 + 25x^2 + 10x^2 + 50x + 24 = x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24$

(2) $(x-2)(x-1)(x+4)(x+8)$ の展開

まず、$(x-2)(x+4)$ と $(x-1)(x+8)$ をそれぞれ展開します。

$(x-2)(x+4) = x^2 + 2x - 8$

$(x-1)(x+8) = x^2 + 7x - 8$

ここで、$A = x^2 - 8$ と置くと、

$(x^2+2x-8)(x^2+7x-8) = (A+2x)(A+7x) = A^2 + 9xA + 14x^2$

$A$を元に戻すと、

$(x^2-8)^2 + 9x(x^2-8) + 14x^2 = x^4 -16x^2 + 64 + 9x^3 -72x + 14x^2 = x^4 + 9x^3 -2x^2 -72x + 64$

(3) $(a+b-c+d)(a-b+c+d)$ の展開

$(a+b-c+d)(a-b+c+d) = (a+d+(b-c))(a+d-(b-c))$

ここで、$A=a+d, B=b-c$ と置くと、

$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$

$A, B$を元に戻すと、

$(a+d)^2 - (b-c)^2 = a^2 + 2ad + d^2 - (b^2 - 2bc + c^2) = a^2 - b^2 - c^2 + d^2 + 2ad + 2bc$

(4) $(x-2)(x+2)(x^2+4)(x^4+16)$ の展開

$(x-2)(x+2) = x^2 - 4$

$(x^2-4)(x^2+4) = x^4 - 16$

$(x^4-16)(x^4+16) = x^8 - 256$

3. 最終的な答え

(1) $x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24$

(2) $x^4 + 9x^3 - 2x^2 - 72x + 64$

(3) $a^2 - b^2 - c^2 + d^2 + 2ad + 2bc$

(4) $x^8 - 256$