与えられた4つの2次関数について、最大値または最小値が存在する場合、その値を求める。

1. 問題の内容

与えられた4つの2次関数について、最大値または最小値が存在する場合、その値を求める。

2. 解き方の手順

2次関数 $y=ax^2+bx+c$ の最大値または最小値を求めるには、平方完成を行い、頂点の座標を求める。

$a > 0$ のとき下に凸のグラフとなり、頂点で最小値をとる。最大値はない。

$a < 0$ のとき上に凸のグラフとなり、頂点で最大値をとる。最小値はない。

(1) $y=x^2-3$

$y = (x-0)^2 - 3$

頂点は $(0, -3)$ であり、$a=1>0$ なので、最小値 $-3$ をとる。最大値はない。

(2) $y=-2x^2+x$

$y = -2(x^2 - \frac{1}{2}x)$

$y = -2(x^2 - \frac{1}{2}x + (\frac{1}{4})^2 - (\frac{1}{4})^2)$

$y = -2(x - \frac{1}{4})^2 + 2(\frac{1}{16})$

$y = -2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8}$

頂点は $(\frac{1}{4}, \frac{1}{8})$ であり、$a=-2<0$ なので、最大値 $\frac{1}{8}$ をとる。最小値はない。

(3) $y=2x^2+8x+3$

$y = 2(x^2+4x) + 3$

$y = 2(x^2+4x+4-4) + 3$

$y = 2(x+2)^2 - 8 + 3$

$y = 2(x+2)^2 - 5$

頂点は $(-2, -5)$ であり、$a=2>0$ なので、最小値 $-5$ をとる。最大値はない。

(4) $y=-x^2+5x-2$

$y = -(x^2-5x) - 2$

$y = -(x^2-5x+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}) - 2$

$y = -(x-\frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4} - 2$

$y = -(x-\frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4} - \frac{8}{4}$

$y = -(x-\frac{5}{2})^2 + \frac{17}{4}$

頂点は $(\frac{5}{2}, \frac{17}{4})$ であり、$a=-1<0$ なので、最大値 $\frac{17}{4}$ をとる。最小値はない。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $-3$

(2) 最大値: $\frac{1}{8}$

(3) 最小値: $-5$

(4) 最大値: $\frac{17}{4}$