2次方程式 $-x^2 + 3x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha + 1, \beta + 1$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $-x^2 + 3x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha + 1, \beta + 1$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式 $-x^2 + 3x + 2 = 0$ を整理します。

両辺に-1を掛けて、$x^2 - 3x - 2 = 0$ とします。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 3$

$\alpha \beta = -2$

次に、求める2次方程式の解は $\alpha + 1$ と $\beta + 1$ です。

これらの解の和と積を計算します。

解の和: $(\alpha + 1) + (\beta + 1) = \alpha + \beta + 2 = 3 + 2 = 5$

解の積: $(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha \beta + \alpha + \beta + 1 = -2 + 3 + 1 = 2$

$x^2$ の係数が1である2次方程式は、一般に $x^2 - (\text{解の和})x + (\text{解の積}) = 0$ と表されます。

したがって、求める2次方程式は、

$x^2 - 5x + 2 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 - 5x + 2 = 0$